§14. Экстремум функций многих переменных

Начнём с того, что получим многомерное обобщение теоремы Вейерштрасса.

Определение. Замкнутое ограниченное подмножество называется компактом.

Определение. -сетью множества называется такое множество , что в - окрестности любой точки найдётся точка .

Лемма. Любой компакт для любого содержит конечную - сеть.

Доказательство.

Обозначим компакт . Так как компакт по определению является ограниченным множеством, его можно включить в некоторый гиперкуб. Данный гиперкуб можно разрезать на конечное множество гиперкубов, имеющих диаметр (расстояние между наиболее удалёнными вершинами) меньше . Выберем те гиперкубы из , которые содержат точки и в каждом из них выберем точку . Очевидно, эти точки образуют требуемую - сеть.

Лемма доказана.

Теорема Вейерштрасса для функций многих переменных. Непрерывная на компакте функция достигает на нём своего наибольшего и

наименьшего значения.

Доказательство.

Пусть -компакт, – непрерывная функция. Пусть , . Надо доказать, что и – ограничены и существуют такие точки , что и . Доказательство проведём для , для оно проводится аналогично. Пусть – конечная 1 - сеть для , – её дополнение до конечной - сети, …, – конечная - сеть, включающая (очевидно, объединение нескольких конечных множеств является конечным множеством).

Пусть – точка из , в которой функция достигает максимума. Последовательность ограничена, поэтому из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность , причём в силу замкнутости множества . Заметим, что последовательность монотонно возрастает, поэтому . Если (сюда включается случай ), то можно найти точку , для которой , где - фиксированное положительное число. В силу непрерывности функции для выбранного найдётся . Возьмём , тогда на множестве найдётся точка для которой , откуда . Но по правилу построения последовательности , что противоречит неравенству . Полученное противоречие доказывает, что , т.е. можно взять .

Теорема доказана.

Теорема Вейерштрасса гарантирует существование экстремума, но не даёт способа его нахождения. Выше было приведено необходимое условие локального экстремума для дифференцируемой функции – равенство нулю градиента (всех частных производных).

Формула Тейлора позволяет получить достаточное условие локального экстремума, обобщающее условие для функции одной переменной.

Доказательство.

Пусть отображение дважды непрерывно дифференцируемо в

точке , тогда его можно разложить в окрестности этой точки по формуле Тейлора . Считаем, что в точке выполнены необходимые условия экстремума . Докажем, что если существует такие и , что при всех выполняется условие , то в точке функция достигает локального минимума, а если , то – максимума.

Действительно, в первом случае, в достаточно малой проколотой окрестности точки можно записать

. При достаточно малых справедливо неравенство .

В случае слагаемое является квадратичной формой , которую можно линейной заменой переменных привести к сумме квадратов . Здесь – собственные числа матрицы с элементами . Применяя приведённые выше рассуждения, получаем, что если все положительны, то в рассматриваемой точке достигает минимума, а если отрицательны – то максимума. Если часть из них положительна, а другая часть отрицательна, то экстремума нет.

Упражнение. Доказать последнее утверждение.

Если хотя бы одно из чисел равно нулю, то требуется отдельное исследование.

Сформулируем порядок исследования на экстремум функции двух переменных.

Находим частные производные первого порядка, и приравниваем к

нулю

Из этой системы находим стационарные точки.

В каждой стационарной точке находим частные производные второго порядка , , . Обозначим . Рассмотрим возможные случаи ∆:

1. ∆ > 0 – экстремум существует.

1. A < 0 – max

2. A > 0 – min

2. ∆ < 0 – экстремум не существует.

3. ∆ = 0 – требуется дополнительное исследование.