§8. Дифференциал. Касательная плоскость. Нормаль поверхности.
Для дифференцируемого отображения, т.е. отображения, для которого выполняется равенство , вводится понятие дифференциала.
Для независимой
переменной
дифференциалом
называется приращение
.
Для функции
дифференциалом
называется
.
При
это главная часть приращения.
Действительно,
,
так как при достаточно малых
выполняется неравенство
.
Для скалярной
функции
.
Упражнение. Какие свойства дифференциала функций одной переменной переносятся на многомерный случай?
В одномерном
дифференциальном исчислении производной
придавался простой геометрический
смысл – она равна тангенсу угла наклона
касательной. Похожий смысл можно придать
производным функции двух переменных.
Пусть
.
Данной функции соответствует некоторая
поверхность в пространстве.
Возьмем на ней
некоторую точку
.
Предположим, что в данной точке функция
дифференцируема. Тогда
.
Отбрасывая величины более высокого
порядка малости, чем первый, получаем
уравнение плоскости:
,
которая называется касательной
плоскостью
к рассматриваемой поверхности в точке
.
Переписав уравнение
касательной плоскости в виде
,
находим координаты вектора нормали:
.
Знание этих координат позволяет записать
уравнение
нормали:
.
§9. Условие Коши-Римана
Так как комплексное число взаимно однозначно связано с парой вещественных чисел (вещественной и мнимой частями), функцию одного комплексного можно рассматривать как функцию двух вещественных переменных. В данном параграфе мы рассмотрим вопрос о том, что следует из такого сопоставления в смысле определения дифференцируемости и соотношения между соответствующими производными.
Рассмотрим
отображение
.
Запишем для него определение
дифференцируемости
.
Пусть
соответственно
.
Выделим у функции
вещественную и мнимую части
,
при этом
,
.
Если эти функции дифференцируемы, то можно записать:
,
,
где
.
Подставляя и сравнивая главные части
приращений, получаем:
.
Пусть
=
,
т.е.
,
,
,
.
В результате получаем равенства
.Эти
равенства называются условиями
Коши - Римана.
В учебниках по функциям комплексной переменной доказывается, что они являются необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции комплексной переменной, но мы это доказательство опускаем, тем более что его несложно провести, опираясь на проведённые выше рассуждения.
§10. Достаточные условия дифференцируемости
Рассматривая одномерный случай, мы видели, что дифференцируемость эквивалентна существованию производной. В многомерном случае это не так. Рассмотрим функцию:
Легко видеть, что
в точке
существуют
,
более того, в данной точке существует
производная по любому направлению,
равная 0. Однако, в точке
рассматриваемая функция не только не
дифференцируема, но и не является
непрерывной, потому что в любой окрестности
начала координат существуют точки, в
которых она равно «0» и «1» (в нуле не
имеет предела).
Однако, немного усилив требования к функции, можно получить условие, гарантирующее дифференцируемость.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные в этой точке, то она дифференцируема в ней.
Доказываем для функции трёх переменных. В случае переменных доказательство аналогичное. Надо доказать, что
.
Преобразуем левую часть к виду
(используем
непрерывность частных производных в
окрестности точки
,
здесь
)
.
Такие рассуждения можно провести для любого числа аргументов.
Теорема доказана.