§5. Дифференцируемость

Дифференцируемость нелинейной функции в одномерном случае заключалась в существовании для неё локального приближения линейной функцией. Получим обобщение этого понятия на случай отображений , рассматриваемых в предыдущих параграфах.

Запишем формулу, аналогичную определению дифференцируемости в одномерном случае: .

При этом отображение предполагается линейным, поэтому и

должны быть векторными пространствами (поэтому здесь используются векторные обозначения). Кроме того, для определения необходимо определить малость векторов, для этого необходимо определить их длину. Формально это выражается в требовании, что пространства и должны быть нормируемые.

Определение. Говорят, в векторном пространстве задана норма, когда каждому вектору сопоставлено неотрицательное число , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. .

2. , где – любое число из поля, над которым задано пространство (обычно это )

3. 

В нормированном пространстве естественным образом определяется метрика – расстояние между двумя точками . Это понятие расстояния позволяет определить, что такое «о малое»: , если .

В дальнейшем будем предполагать, что пространство не только нормируемое, но еще и полное (относительно введённой выше метрики).

Определение. Полное нормируемое пространство называется Банаховым пространством.

Основным примером такого пространства будет – тот факт, что это нормируемое пространство виден из введённых в первом параграфе метрик, а полнота была доказана выше.

Упражнение. Выписать нормы, соответствующие , и в пространствах и .

Для функции одной переменной было доказано, что дифференцируемая функция непрерывна. Желание сохранить справедливым этот факт заставляет требовать, чтобы оператор был ограниченным.

Определение. Линейный оператор называется ограниченным, если существует конечное число .

Очевидно .

Примером не ограниченного линейного оператора может служить оператор . Данный оператор действует из пространства непрерывно дифференцируемых функций на промежутке в пространство непрерывных функций на промежутке : .

Рассмотрим случай . Тогда , , , поэтому для получаем , но, так как может быть взято сколь угодно большим, , т.е. не существует, другими словами, оператор является неограниченным.

Если оператор является ограниченным, то и , следовательно , т.е. функция является непрерывной в точках дифференцируемости.

Так как основным примером векторных пространств является , особый интерес представляет вычисление нормы оператора через элементы его матрицы в каноническом базисе. Очевидно, данное число зависит от выбранных норм в пространствах и .

Запишем действие оператора через координаты .

Для случая, когда в пространствах и выбрана норма, соответствующая метрике , получаем , поэтому . Докажем, что последнее неравенство на самом деле является равенством. Пусть – значение индекса , для которого реализуется . Выберем , а остальные координаты –

нулевыми, тогда и , откуда следует, что .

Для случая, когда в пространствах и выбрана норма, соответствующая метрике , получаем:

, поэтому . Докажем, что последнее неравенство на самом деле является равенством. Пусть – значение индекса , для которого реализуется . Выберем , тогда и , откуда следует, что .

Для нормы, соответствующей такого простого результата получить не удаётся, поэтому данный случай мы рассматривать не будем.