6.1. Статистические распределения

Генеральная совокупность. Выборка. Исходным материалом всякого ста­тистического исследования является совокупность результатов наблюдения. В результате наблюдения за случайным явлением или проведения эксперимен­та получают некоторые числовые данные, которые записывают в виде таблиц. Все необходимые сведения об эксперименте или изучаемом случайном явле­нии должны быть зафиксированы. Совокупность наблюденных или экспери­ментальных данных представляет собой первичный статистический материал. Эта совокупность называется простой статистической совокупностью или простым статистическим дискретным рядом.

Например, выполнение плана товарооборота (в тыс. р.) в Советском райпищеторге Минска по кварталам 1985 и 1986 гг. можно представить в виде таблицы:

		Годы
Квартал
	1985		1986
I	593,1		678,9
II	667,6		729,7
III	689,0		644,6
IV	773,5		841,6

Отметим, что совокупность наблюденных или экспериментальных данных принадлежит, как правило (но не всегда), некоторой гипотетической неогра­ниченной совокупности, которая организована в соответствии с некоторым законом, называемым распределением совокупности.

Рассмотрим случайный эксперимент, который описывается одномерной случайной величиной X. Математической моделью эксперимента является тройка , где - множество возможных значений случайной величины X; - σ-алгебра числового множества ; F(x) — функция распределения случайной величины X. Осуществив n независимых повторений эксперимента, получим последовательность n наблюденных значений случайной величины X, которые обозначим . Они принадлежат множеству значений случайной величины X, т.е. . Множество называют выборкой, а число элементов, входящих в выборку, — объемом выборки. Множество принято называть генеральной совокупностью, а число элементов — объемом генеральной совокупности.

Конечной задачей всякого исследования в математической статистике являются построение математической модели случайного эксперимента, проверка адекватности модели изучаемому эксперименту и в случае положительного ответа прогнозирование появления случайных событий .

При построении математической модели предполагают:

1) выборка является репрезентативной (представительной). Репрезентативность понимается в том смысле, что для всех элементов из генеральной совокупности существует одна и та же вероятность быть включенным в выборку. Получаемая в результате выборка, являющаяся представительной с точки зрения генеральной совокупности, называется случайной выборкой. Всякая случайная выборка извлекается из генеральной совокупности с сохранением принципа случайного отбора. Так, например, 100 измерений диаметра поршневых колец представляет собой выборку объема n=100, которая характеризует генеральную совокупность — поршневые кольца определенного типа, произведенные за смену, неделю, месяц.

2) выборка является единственной реализацией n-мерной случайной величины (X₁, Х₂,..., X_n), называемой n-мерным случайным вектором. Составляющая , случайного вектора (X₁, Х₂,..., X_n) — это значение величины X в i-м наблюдении. При этом считают, что случайные компоненты , независимы друг от друга и имеют одну и ту же функцию распределения, что и X, т.е. F(x). Закон распределения случайного вектора (X₁, Х₂,..., X_n) в этом случае полностью определяется формулой F(x₁ , x₂,...,x_n) = F(x_l)F(x₂)...F(x_n).

Таким образом, в математической статистике мы говорим о случайной выборке объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F(х), т.е. результаты n экспериментов являются независимыми в совокупности случайными величинами с одной и той же функцией распределения F(x).

В некоторых случаях (измерение некоторой физической константы — длины, площади, массы и т.д.) удобно рассматривать бесконечную генеральную совокупность. Действительно, результатом измерения физической константы может оказаться любое действительное число, т.е. будет совпадать с .

Тогда последовательность значений рассматривается как случайная выборка из бесконечной генеральной совокупности.

Распределение выборки. Графическое представление распределений. Пусть дана выборка . Числа образующие выборку, являются наблюденными значениями случайной величи­ны X (непрерывной или дискретной), полученными при реализации незави­симых экспериментов. Эксперименты повторяются при одних и тех же усло­виях, σ.

Для придания компактности и наглядности выборке в случае, когда слу­чайная величина X — непрерывная, весь диапазон наблюденных данных делят на интервалы или разряды и подсчитывают количество значений , входя­щих в данный интервал, т.е. определяют абсолютные частоты наблюденных данных. По абсолютным частотам, входящим в данный интервал, находят относительные частоты , причем .

Ясно, что сумма всех относительных частот W_i равна единице, т.е. . Полученные интервалы и соответствующие относительные частоты W_i записывают в виде табл. 6.1, которая называется интервальным статисти­ческим рядом распределения. Интервальный статистический ряд распределе­ния будет задавать распределение выборки, которое однозначно определяется самой выборкой. При построении интервального статистического ряда рас­сматривают интервалы одинаковой длины (обычно k=6-20). Длину интервалов можно определить по формуле . Количество ин­тервалов можно также определять из соотношения , где n— объем выбор­ки.

Таблица 6.1

Интервалы наблюденных значений случайной вели­чины X, Ii			…
Относительные частоты			…

Интервальный статистический ряд распределения, представленный графи­чески, называется гистограммой, которая строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы , и на каждом из них строится прямоугольник площадью W_i, т.е. высота . На рис. 6.1 изображен один из видов гистограммы. Из способа построения гистограммы следует, что площадь гистограммы равна единице. В теории вероят­ностей гистограмме соответствует график плотности распределения вероят­ностей.

Рис.6.1

Если экспериментальный материал описывает реализации дискретной слу­чайной величины X, то значения наблюдений х_i располагают в возрастающем порядке. При этом х_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Число появле­ний наблюдения х_i называют абсолютной частотой m_i. Значения наблюдений и соответствующие абсолютные частоты можно записать в виде табл. 6.2.

Таблица 6.2

	Наблюденные				…
	значения .
	Абсолютные				…
	частоты

Таблицу такого вида называют статистическим рядом распределения или частотной таблицей. Если на плоскости нанести точки (х_i, m_i) и соеди­нить их отрезками прямых линий, то получим полигон частот, который назы­вают еще частотным многоугольником (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Если в табл. 6.2 для соответствующих данных записать относительные час­тоты (частости) , получим таблицу относительных частот (частостей) :

Таблица 6.3

Наблюденные значения хi				…
Относительные частоты				...

Если на плоскости нанести точки и соединить их отрезками прямых линий, получим полигон относительных частот.

Гистограмму и полигон частот выборочного распределения можно использовать для подбора модели распределения изучаемой случайной величины X.

Распределение выборки, задаваемое интервальным статистическим рядом (табл. 6.1) или таблицей относительных частот (табл. 6.3) называется эмпирическим распределением случайной величины X.

Так как, согласно закону больших чисел в форме Бернулли, который утверждает, что относительная частота появления события в n независимых испытаниям, проводимых при одинаковых условиях, сходится по вероятности к вероятности этого события: , то во второй строке табл. 6.1 и 6.3 стоят приближенные значения вероятностей р_i соответствующих событий и . Поэтому распределение выборки называют эмпирическим распределением случайной величины X.

Эмпирическая функция распределения. Наиболее важным для описания экспериментального материала является построение эмпирической функции распределения.

Определение 6.1. Эмпирической функцией распределения называется относительная частота события {Х < х} в данной выборке значений случайной величины X, т.е. , где — число х_i, меньших х; n - объем выборки.

Величина равна числу элементов выборки, которые меньше х. Из теоремы Бернулли следует, что эмпирическая функция при увеличении n (n →∞) сходится по вероятности к подлинной функции распределения F(x). Поэтому используется для оценки функции распределения F(x).

Эмпирическая функция распределения обладает свойствами, приведенными ниже.

1°. Значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку .

2° . Эмпирическая функция распределения — неубывающая функция.

3°. Если х <х₁ , то , где х₁ - наименьшее наблюденное значение; при х <х_n , , где х_n — наибольшее наблюденное значение.

Эти свойства следуют из определения эмпирической функции распределения.

Построение эмпирической функции распределения производится приведенными ниже способами.

Если эксперимент описывается непрерывной случайной величиной X, то в качестве х берут границы интервалов, фигурирующих в интервальном статистическом ряду (см. табл. 6.1). Тогда

Соединяя точки , получаем график функции , изображенный на рис. 6.3.

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Пользуясь табл. 6.3, можно построить эмпирическую функцию распределения. Функция — ступенчатая, ее скачки соответствуют наблюденным значениям и равны относительным частотам m_i/n этих значений:

График этой функции приведен на рис. 6.4.

Пример 6.1. Результаты измерений толщины вкладышей 500 шатунных подшипников для автомобилей "Жигули" приведены ниже:

Интервал допустимых значений толщины подшипников , мм	Число вкладышей тi	Интервал допустимых значений толщины подшипников , мм	Число вкладышей тi
[1,723; 1,724[ [1,724; 1,725[ [1,725; 1,726[ [1,726; 1,727[	5 25 73 130	[1,727; 1,728[ [1,728; 1,729[ [1,729; 1,730[ [1.731; 1,731[	118 90 49 10

Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

Р е ш е н и е. Рассматриваемый эксперимент в примере описывается непрерывной случайной величиной X, так как теоретически (с ограничениями, налагаемыми имеющейся точностью измерений) она может принимать любые значения из отрезка [1,723; 1,731], длина которого определяется заданной технологией.

Для построения гистограммы определим относительные частоты :

На оси абсцисс откладываем интервалы: , на каждом из которых строим прямоугольник площадью ; площадь построенных прямоугольников будет равна единице. Соответствующая гистограмма изображена на рис. 6.5. Ее вид указывает, что распределение случайной величины X подчиняется нормальному закону.

Рис. 6.5

Построим эмпирическую функцию по результатам вычислений: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Соответствующая кривая изображена на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Пример 6.2. В продторге с 10 магазинами ежедневно в определенное время проводилась регистрация магазинов с неполным ассортиментом молочных продуктов. Результаты 200 таких наблюдений приведены ниже:

Число магазинов с неполным ассортиментом молочных продуктов хi	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Абсолютная частота mi	41	62	45	22	16	8	4	2	0	0	0

Построить полигон относительных частот и эмпирическую функцию распределения.

Р е ш е н и е. Указанные выше 200 наблюдений складываются из реализаций дискретной случайной величины X.

Для построения полигона относительных частот отложим на оси абсцисс значения х_i и проведем перпендикуляры высотой Полученные точки соединим отрезками прямой (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Для построения эмпирической функции распределения воспользуемся относительными частотами . Получим

Соответствующий график изображен на рис. 6.8.

Рис. 6.8

После того как вид распределения случайной величины X выбран (он, естественно, содержит неизвестные параметры), переходят к оценке параметров гипотетического распределения по данным выборки. В качестве оценок используют числовые характеристики выборки.

Вопросы для самопроверки

1. Что представляет простую статистическую совокупность?

2. Сформулируйте определение выборки, генеральной совокупности.

3. Какие условия предполагают при построении выборки?

4. Какие эмпирические распределения строят для придания наглядности и компактности выборки?

5. Сформулируйте определение эмпирической функции распределения и перечислите ее свойства.

6. Зависит ли построение эмпирической функции распределения от вида случайной величины?