7.6. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Рассмотрим нормально распределенную случайную величину X с законом распределения , содержащим два неизвестных параметра m и σ. Построим доверительные интервалы для m и σ по данным выборки .

Любой доверительной интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения неравенств, в которые входит оценка . А закон распределения, как следует из центральной предельной теоремы, в общем случае зависит от неизвестных параметров величины X. Однако иногда удается в неравенствах перейти от случайной величины к какой-либо другой функции ( X₁, Х₂, ..., Х_n), закон распределения которой зависит от данных выборки и закона распределения случайной величины X и не зависит от неизвестных параметров.

Например, доказано (см. теорему 7.1), что при нормальном распределении величины X случайная величина

, (7.8)

где , подчиняется закону распределения Стьюдента с ν = n - 1 степенями свободы и плотностью вида

(7.9)

где гамма-функция .

Доказано также (см. § 7.4), что случайная величина

(7.10)

имеет -распределение с ν = n - 1 степенями свободы, плотность которого выражается формулой

(7.11)

При построении доверительных интервалов для неизвестных параметров распределения , соответствующих доверительной вероятности , воспользуемся их оценками и (см. § 7.2).

1. Определим сначала доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X, т.е. для заданной доверительной вероятности , а найдем такое , чтобы

. (7.12)

Доверительный интервал выбираем симметричным, так как распределение Стьюдента и нормальный закон симметричны.

Умножив неравенство на положительную величину , из формулы (7.12) получим

(7.13)

или

где

Зная плотность распределения Стьюдента, вероятность можно вычислить по формуле

.

Для функции составлена таблица значений. Тогда можно определить по этой таблице, соответствующей равенству , в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы n - 1 = ν .

Полагая , найдем доверительный интервал

(7.14)

для математического ожидания.

Если в распределении неизвестен только параметр m, то доверительный интервал (7.14) имеет вид

(7.15)

где находим из равенства по таблице функции Лапласа, так как вероятность задана.

Действительно, согласно центральной предельной теореме, средняя арифметическая большой выборки будет распределена асимптотически нормально с параметрами М( )=m и σ( )= . Тогда вероятность в равенстве (7.12) находим по формуле (2.22):

где . Формула (7.12) примет вид 2Ф( ) = , что и требовалось доказать.

Из формул и следует, что с увеличением объема выборки n точность оценки возрастает (δ уменьшается).

Кроме того, так как

то при увеличении объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому при n > 50 в формуле (7.14) можно определять из таблицы функции Лапласа, причем уровень доверия интервала не изменится.

2. При построении доверительного интервала для дисперсии выразим через величину , имеющую распределение с плотностью (7.11) (рис. 7.6),т.е. .

Рис. 7.6

Закон распределения плотности величины не симметричный (рис. 7.6).

Выберем интервал , в который попадает величина с вероятностью так, чтобы вероятности выхода величины за пределы интервала вправо и влево (заштрихованные площади на рис. 7.5) были одинаковы и равны и :

Для нахождения соответствующих чисел и воспользуемся таблицей значений распределения с ν степенями свободы и вероятностью (см.прил. 6) . В нашем случае ν = n-1.

Теперь по интервалу для величины построим доверительный интервал , который "накрывает" точку с вероятностью :

.

Так как неравенства и эквивалентны неравенствам

и

где , то интервал

тогда и только тогда накрывает точку , когда величина попадает в интервал .

Таким образом, доверительный интервал для построен на основании -распределения и выражается формулой

(7.16)

Пример 7.2. Случайная выборка измерений роста 20 студентов первого курса дала следующие результаты: средний рост = 1,7; а выборочная несмещенная дисперсия =0,002. Найти 95% - ные доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии роста всех студентов первого курса исследуемого вуза, если распределение роста нормально.

Р е ш е н и е. Из условия примера = 1,7, =0,002 . По таблице для и = 0,95 находим = 2,09. Тогда, подставляя эти данные в формулу, получаем

_.

Окончательно доверительный интервал для математического ожидания .

Чтобы найти доверительный интервал для дисперсии, по таблице (см. прил. 6) определим и , если

По формуле (7.16) находим доверительный интервал для дисперсии

Вопросы для самопроверки

1. Опишите процедуру построения доверительного интервала для математического ожидания?

2. Какая случайная величина используется при построении доверительного интервала для дисперсии?

3. На основании какого распределения построен доверительный интервал для дисперсии?

219