7.4. Некоторые распределения случайных величин, используемые в математической статистике

Распределение (хи-квадрат). Из центральной предельной теоремы следует, что среднее арифметическое для выборок, взятых из генеральной совокупности , имеющей нормальный закон распределения с М(X) и σ(Х), распределено нормально с математическим ожиданием М(Х) и средним квадратическим отклонением .

Возникает задача о нахождении законов распределения статистической дисперсии . Для этого рассмотрим независимые центрированные случайные величины X₁, Х₂, ..., Х_n , распределенные нормально с математическим ожиданием (центром), равным нулю, и дисперсией, равной единице, и исследуем закон распределения случайной величины

,

которая называется случайной величиной с распределением и ν= n степенями свободы. Очевидно, что и . Плотность вероятности случайной переменной, имеющей распределение и ν степеней свободы, выражается формулой

где Г( ) - гамма-функция, определяемая с помощью интеграла Эйлера:

.

Ha рис. 7.1 приведен график плотности вероятностей - распределения при числе степеней свободы ν= 1,2,6.

Рис. 7.1

Таким образом, распределение зависит только от одного параметра — числа степеней свободы ν. И чем больше ν, тем более симметрично распределение , хотя некоторая правая асимметрия существует всегда.

Функция распределения имеет вид

По определению математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:

Асимметрия и эксцесс распределения соответственно равны:

.

Отметим, что если n→∞, то распределение отношения стремится к нормированному нормальному закону распределения.

Это распределение непосредственно связано с распределением статистической дисперсии выборки. Статистическая дисперсия, как было указано в § 6.2, вычисляется по формуле

Справедливо следующее утверждение: если X₁, Х₂, ..., Х_n — независимые нормально распределенные случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, то случайная переменная имеет распределение с ν-1 степенями свободы.

Поэтому при нахождении вероятности того, что дисперсия выборки примет значение, принадлежащее определенному отрезку [а; b], выражение преобразуется к виду и используется распределение величины , причем

.

Так как плотность вероятности для распределения вычислить сложно, то для составлена таблица (см. прил. 6), в которой для различных значений ν приводятся квантили -распределения, т.е. такие значения , при которых

,

где — заданный уровень вероятности. При применяют формулу

,

где z определяется из уравнения . Распределение играет важную роль в проверке статистических гипотез (см. гл. 8) .

Распределение Стьюдента. При статистической оценке параметров распределения и статистической проверке гипотез широко используется распределение Стьюдента.

Случайная величина

,

где центрированная случайная величина с нормальным распределением, центр которого равен нулю, а дисперсия 1; — случайная величина с распределением и ν= n степенями свободы, называется случайной величиной Стьюдента с ν= n степенями свободы. При указанных условиях плотность вероятности величины Стьюдента имеет вид

Функция распределения Стьюдента

.

График, иллюстрирующий ее, изображен на рис. 7.2.

Рис.7.2

Как видно из рисунка, кривая симметрична относительно оси ординат и, следовательно, М(t) = 0, а для больших значений ν очень близка к центрированной нормальной кривой. При малых значениях ν кривая значительно отличается от центрированной нормальной кривой — более медленно спускаясь к оси абсцисс. Сопоставление кривых плотностей центрированного нормального распределения и распределения Стьюдента приведено на рис. 7.3.

Рис. 7.3

Для распределения Стьюдента в прил. 5 приведены значения квантилей в зависимости от числа ν степеней свободы и заданного уровня вероятности . Эти квантили находят при решении уравнения

.

С геометрической точки зрения, нахождение квантилей заключается в выборе такого значения , при котором суммарная площадь заштрихованных на рис. 7.3 криволинейных трапеций была бы равна . При вместо таблицы распределения Стьюдента можно использовать таблицу центрированного нормального распределения, так как при ν →∞ функция распределения Стьюдента сходится к функции нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Укажем два частных случая переменных, имеющих распределение Стьюдента и широко применяемых на практике. Сформулируем теоремы.

Теорема 7.1. Если X₁, Х₂, ..., Х_n — независимые случайные величины, распределенные нормально с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением σ, то случайная величина

,

где ; , имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Справедливость теоремы 7.1 следует из того, что

случайная величина распределена нормально с центром, равным нулю, σ=1, а случайная величина имеет распределение с степенями свободы.

Теорема 7.2. Если , и , соответственно средние арифметические и статистические дисперсии в выборках, состоящих из и независимых наблюдений, случайно отобранных из нормальных совокупностей с одинаковым средним квадратическим отклонением, то при взаимной независимости обеих выборок случайная переменная

имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Действительно, так как дисперсия одна и та же в генеральных совокупностях, то величины

и

имеют -распределение с степенями свободы. Тогда легко доказать, что их сумма

имеет -распределение с степенями свободы, а величина распределена нормально с параметрами 0 и , поэтому величина

распределена нормально с параметрами 0 и 1. А отношение имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Распределение Фишера. Рассмотрим случайную величину

где U и V имеют -распределение с и степенями свободы. Тогда случайная величина F имеет распределение Фишера с и степенями свободы.

Плотность вероятности случайной величины F имеет вид

График плотности вероятностей распределения Фишера изображен на рис. 7.4.

Рис. 7.4

В таблице распределения (см. прил. 7) для различных значений уровня вероятности и различных сочетаний и даются значения F_α , найденные из уравнения

В дисперсионном анализе Фишера используется случайная величина

для которой справедлива

Теорема 7.3. Если и — статистические дисперсии, где

определяемые в выборках объемов n₁ и n₂, взятых из нормальных совокупностей с одинаковыми средними квадратическими отклонениями, то случайная величина имеет распределение Фишера—Снедекора с и степенями свободы.

Действительно,

и случайные величины

имеют -распределение с и степенями свободы. Тогда отношение

имеет распределение Фишера.

Функция распределения случайной величины F называется также F-распределением с и степенями свободы.

Вопросы для самопроверки

1. Сумма каких случайных величин образует случайную величину с распределением ?

2. С распределением какой числовой характеристики связано распределение ?

3. Отношение каких случайных величин образует случайную величину Стьюдента ?

4. Приведите примеры случайных величин, имеющих распределение Стьюдента?

5. Отношение каких случайных величин образует случайную величину, имеющую распределение Фишера ?

6. Приведите пример случайной величины, имеющей распределение Фишера?