6.2. Основные характеристики выборки

Пусть случайный эксперимент описывается случайной величиной X. Повторяя случайный эксперимент n раз, получим последовательность наблюденных значений случайной величины X, называемых выборкой из генеральной совокупности , описываемой функцией распределения F(x).

Рассмотрим основные числовые характеристики эмпирического распределения случайной величины X.

Определение 6.2. Средним арифметическим наблюденных значений выборки называется величина, определяемая по формуле

(6.1)

где х_i — наблюденное значение с частотой m_i; n — число наблюдений, . Частоты m_i могут быть равны единице, , тогда k=n .

Согласно закону больших чисел, при неограниченном увеличении числа наблюдений среднее арифметическое сходится по вероятности к математическому ожиданию случайной величины X.

В качестве числовой характеристики выборки применяется медиана . Предположим вначале, что изучается дискретная случайная величина . Чтобы вычислить медиану, все наблюдения располагают в порядке возрастания или убывания. При этом, если число вариант нечетно, т.е. 2m + +1, то медианой является m + 1 варианта ( ); если же число вариант четное - 2 , то медиана равна среднему арифметическому двух средних значений: . Если же изучается непрерывная случайная величина , то сначала находят интервал, содержащий медиану, называемый медианным. Этому интервалу соответствует первая из накопленных частостей, превышающая половину всего объема совокупности. Внутри найденного интервала медиана вычисляется по формуле

где нижняя граница интервала, в котором лежит медиана; длина интервала; половина суммы всех частот; сумма частот во всех интервалах, предшествующих медианному; частота медианного интервала.

Наблюдение выборки, имеющее наибольшую частоту, называется модой и обозначается . Для интервального ряда с равными интервалами интервал, содержащий моду (модальный), определяется по наибольшей частоте и вычисляется по формуле

,

где нижняя граница интервала, в котором расположена мода; длина интервала; относительные частоты, соответствующие модальному, предшествующему и последующему интервалам.

Среднее арифметическое , медиана , мода — это средние значения выборки.

Для описания рассеивания наблюденных значений случайной величины X относительно среднего арифметического используются статистическая дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Определение 6.3. Статистической дисперсией выборочного распределения называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений наблюдений от средней арифметической :

(6.2)

где х_i — наблюденное значение с частотой m_i; ; n — число наблюдений.

Определение 6.4. Средним квадратическим отклонением или стандартной ошибкой называется квадратный корень из статистической дисперсии:

. (6.3)

Как следует из теоремы 2.5, статистическую дисперсию можно вычислять по формуле

. (6.4)

Действительно,

Средние величины, характеризуя выборочное распределение одним числом, не учитывают вариацию случайной величины X, связанной со случайным экспериментом. В математической статистике используется ряд способов для определения вариации.

Определение 6.5. Вариационный размах R (или широта распределения) есть разность между наибольшим и наименьшим значениями выборочного распределения : .

Вариационный размах используется при статистическом изучении качества продукции.

Определение 6.6. Средним линейным отклонением называется среднее арифметическое модулей отклонений значений выборки от средней:

. (6.5)

Определение 6.7. Коэффициентом вариации по среднему квадратическому (среднему линейному) отклонению называется отношение среднего квадратического (среднего линейного) отклонения к средней, выраженное в процентах (или в долях единицы) :

(6.6)

Коэффициент вариации служит для сравнения двух эмпирических распределений с точки зрения их рассеивания относительно среднего арифметического.

Обобщающими характеристиками выборочных распределений являются статистические моменты распределения.

1. Начальные статистические моменты k-то порядка

. (6.7)

Тогда:

при k =0

при k=1 - среднее арифметическое;

при k=2 - среднее квадратическое;

при k=3

при k=4

и т.д.

Практически используются моменты первых четырех порядков.

2. Центральные статистические моменты k -го порядка

(6.8)

Тогда:

при k =0

при k=1

при k=2 - статистическая дисперсия;

при k=3

при k=4

и т.д.

Отметим, что центральный статистический момент третьего порядка служит мерой асимметрии распределения выборки. Если распределение симметрично, то .

На практике моменты порядка выше четвертого почти не применяются, так как обладают очень высокой дисперсией и их сколько-нибудь надежное определение потребовало бы выборок большого объема.

С помощью бинома Ньютона легко установить следующие формулы для вычисления третьего и четвертого центральных статистических моментов через начальные статистические моменты:

Действительно, например,

Характеристика асимметрии выборочного распределения вычисляется по формуле , а эксцесс выборочного распределения определяется характеристикой .

Числовые характеристики выборочного распределения случайной величины X определяют, используя стандартные программы на компьютере.

Пример 6.3. По данным о возможной степени загруженности ткачей при имеющихся комбинациях станков в зоне обслуживания определить числовые характеристики выбор­ки (данные приведены в условных единицах):

0,525	0,531	0,538	0,544	0,550	0,557	0,563	0,570	0,576	0,583	0,589
0,972	0,944	0,916	0,888	0,860	0,832	0,804	0,777	0,748	0,721	0,692
0,910	0,887	0,863	0,841	0,817	0,794	0,771	0,746	0,724	0,702	0,678
1,344	1,287	1,231	1,174	1,118	1,061	1,005	0,948	0,892	0,835	0,779
0,966	0,931	0,857	0,862	0,828	0,793	0,759	0,725	0,690	0,656	0,621
0,904	0,874	0,844	0,815	0,785	0,753	0,726	0,696	0,666	0,637	0,607
1,337	1,274	1,211	1,148	1,085	1,022	0,959	0,896	0,833	0,770	0,707
0,938	0,943	0,947	0,953	0,957	0,962	0,967	0,971	0,976	0,981	0,986
1,272	1,343	1,315	1,286	1,258	1,229	1,201	1,172	1,144	1,115	1,087
1,367	1,333	1,300	1,267	1,234	1,200	1,167	1,132	1,097	1,067 0,596 0,665 0,655 0,722 0,587 0,577 0,644 0,990 1,058 1,000	1,034 0,602 0,636 0,632 0,566 0,552 0,548 0,581 0,996 1,030 0,967

Решение. Для вычисления числовых характеристик выборки используется стан­дартная программа пакета прикладных программ.

В результате получаем следующие числовые характеристики:

Мы рассмотрели наиболее употребительные на практике числовые харак­теристики выборочного распределения.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите числовые характеристики выборки, характеризующие среднее значение выборки и укажите формулы для их вычисления.

2. Какие числовые характеристики выборки используются для описания рассеяния значений случайной величины ?

3. Укажите характеристики асимметрии и эксцесса выборочного распределения и формулы для их вычисления.