7.5. Интервальное оценивание

Мы рассмотрели способы оценки неизвестных параметров законов распределения случайной величины X по данным выборки. Получаемые при этом точечные оценки не совпадают (за исключением редких случаев) с истинным значением неизвестных параметров Следовательно, всегда имеется некоторая погрешность при замене неизвестного параметра его оценкой, т.е. . Величина погрешности при этом неизвестна, хотя требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки для параметра , в математической статистике рассматривают вероятность неравенства :

(7.7)

И если эта вероятность близка к единице, т.е. если

,

то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене параметра на оценку , равен ±δ. Причем, большие по абсолютной величине ошибки, появляются с вероятностью , .

Чем меньше для данного > 0 будет δ > 0, тем точнее оценка . Из соотношения (7.7) видно, что вероятность того, что интервал со случайными концами накроет неизвестный параметр, равна 1- . Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Определение 7.4. Случайный интервал, определяемый результатами наблюдений, который с заданной вероятностью накрывает неизвестный параметр а, называется доверительным интервалом для параметра , соответствующим доверительной вероятности .

Граничные точки доверительного интервала называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами.

Заданному соответствует не единственный доверительный интервал. Доверительные интервалы могут изменяться от выборки к выборке. Более того, для данной выборки различные методы построения доверительных интервалов могут привести к различным интервалам. Поэтому выработаны определенные правила. Используя их и эффективные оценки неизвестных параметров, получают кратчайшие интервалы для заданной доверительной вероятности .

Рассмотрим общие принципы построения доверительных интервалов. Предположим, что доверительный интервал находим для некоторого параметра совокупности и в качестве точечной оценки этого параметра возьмем выборочную несмещенную М( )= и эффективную оценку , имеющую среднее квадратическое отклонение .

Если бы закон распределения оценки был известен, то для нахождения доверительного интервала нужно было бы найти такое значение δ, для которого . Но закон распределения оценки зависит от закона распределения случайной величины X и, следовательно, от его неизвестного параметра . Для того чтобы не применять закон распределения случайной величины X, поступают следующим образом.

Так как мы считаем (см. § 6.1) значения выборки независимыми случайными величинами X₁, Х₂, ..., Х_n, имеющими те же законы распределения, что и исследуемая случайная величина X, то, согласно центральной предельной теореме (теоретическое выборочное распределение средних при большом n может быть хорошо аппроксимировано соответствующим нормальным распределением с параметрами и , большинство числовых характеристик выборки имеют нормальное или близкое к нормальному выборочное распределение.

Поэтому с помощью вероятностей, которые находим из таблиц (см. прил. 3) нормального распределения , где , для заданного δ можно найти такой интервал , в котором лежит значение , вычисленное по данной выборке (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Можно решить и обратную задачу: по данной вероятности найти значение δ

такое, что .

Неравенства эквивалентны неравенствам (вычтем + из каждой части и умножим на -1) .Тем самым указаны методы построения доверительных интервалов для параметра .

Таким образом, при построении доверительных интервалов составляется случайная величина Y ( например, ), связанная с неизвестным параметром , его оценкой и имеющая известную плотность распределения вероятностей р(у). Используя эту плотность, определим доверительный интервал по формуле .

В качестве доверительной вероятности (иначе - уровня доверия) обычно полагают = 0,95 (0,99). Это значит, что при извлечении n выборок из одной и той же генеральной совокупности доверительный интервал примерно в 95 % (99 %) случаев будет накрывать неизвестный параметр (относительно неизвестного параметра вероятностные утверждения не допускаются). При увеличении же доверительной вероятности строится более широкий доверительный интервал, который малопригоден для практики. Еще раз подчеркнем, что чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка.

Отметим, что для точного нахождения доверительных интервалов необходимо знать закон распределения случайной величины X, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Вопросы для самопроверки

1. С какой целью строится доверительный интервал?

2. Сформулируйте определение доверительной вероятности, доверительного интервала.

3. Какие принципы положены в основу построения доверительных интервалов?

4. Какой смысл имеет доверительная вероятность?