10.1. Неравенство Чебышева
Теорема.
Если случайная величина Х
имеет конечную дисперсию, то
справедливо
неравенство
.
Доказательство проведём для непрерывной СВ.
Из рисунка
х
следует
что и требовалось доказать.
Пример 2. Дана случайная величина Х
с математическим ожиданием
и дисперсией
.
Оценить вероятность того, что случайная
величина Х
отклонится от своего математического
ожидания не менее, чем на
.
Положим в неравенстве Чебышева
,
тогда верхняя граница вероятностей
,
что верно для всех законов распределения СВ.
10.2. Теорема Чебышева
Теорема. Если
независимые СВ,
имеющие конечные дисперсии, т.е.
,
то
Рассмотрим новую случайную величину
и применим к ней неравенство Чебышева
.
Переходя к пределу при
и, учитывая что
,
получаем теорему Чебышева.
Следствия:
1. Теорема
Бернулли. Если
число наступления
события А
в п
независимых испытаниях, а р
вероятность А,
то
Пусть число появления события A в одном испытании, т.е.
-
0
1
p
q
p
Тогда
и
Полагая в неравенстве Чебышева соответствующие значения, получаем теорему Бернулли.
2. Если для последовательности независимых случайных величин вы-полняется равенство
,
то
Доказательство следует из теоремы Чебышева.
Этот частный случай даёт основание
правилу среднего арифметического,
употребляемого в теории измерений, т.е.
если результаты измерений:
,
то искомая величина
.
Следовательно, увеличивая количество измерений, мы будем получать более надежный результат.
Пример 3. Дисперсия каждой из попарно независимых случайных величин не превышает 10. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического 16000 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,25.
По условию
Тогда по теореме Чебышева С = 10 и искомая вероятность
Вопросы для самоконтроля:
1. Что понимают под законом больших чисел?
2. Запишите неравенство Чебышева.
3. Сформулируйте теорему Чебышева
Вопросы для самостоятельного изучения темы
Система двух случайных величин [2, 3 с.137]
Нормальные законы (постановка задачи, понятие кривой распределения, свойства нормальных кривых распределения) [4, с.122]
Введение в теорию случайных процессов [4, с.144]
Литература к теме 2: [1-5]
Тема 3. Элементы математической статистики (14ч)
Лекция № 11. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Полигон частот, гистограмма (2ч).
Содержание лекции № 11: