1.7. Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.

Пусть Е - пространство элементарных событий, а  класс событий (набор подмножеств множества E). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.

Пример 11. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь . Выпишем все события, которые образуют . Тогда .

Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и равно . Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно .

Определение 2. Числовая функция Р, определяемая на классе событий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1. ;

2. ;

3. Если несовместные события, то

.

Из этого определения следуют свойства:

1. .

Действительно, так как и, с учетом аксиом 2 и , получаем .

2. .

Действительно, так как , то с учетом свойства 1 и аксиомы 2, получаем .

3. Если образуют полную группу событий, т.е. , то .

Это следует из аксиом 23.

4. .

Это следует из свойства 3 и аксиомы 1.

Вопросы для самоконтроля:

1. Чем занимается теория вероятностей?

2. Какое явление называется случайны?

3. Что называется случайным, достоверным, невозможным событием?

4. Что называется частотой случайного события?

5. Что называется вероятностью случайного события?

6. Что понимают под статистической вероятностью случайного события?

7. Какое событие называется элементарным? Что понимают под пространством элементарных событий?

8. Сформулировать классическое определение вероятности.

Лекция № 2. Основные теоремы теории вероятностей (2ч)

2.1. Теорема умножения вероятностей

Определение 1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло, называется вероятность, определяемая формулой

. (1)

Это можно легко показать для случая классического определения веро-ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про-иллюстрируем её на примере.

Пример 1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: A – первым вынут белый шар, В – вторым вынут синий, тогда АВ – вынуты по очереди белый и синий шары. Найдем вероятности: . Подставив эти вероятности в формулу (1), убеждаемся, что она справедлива.

Определение 2. Если и , то такие события называются независимыми.

Теорема 1. . (2)

Это следует из формулы (1).

Следствие 1. Для независимых событий .

Следствие 2. Если обозначить и , то вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности, равна

. (3)

Рассмотрим событие  ни одного события не на-ступило. Тогда по следствию 1 из определения вероятности получаем

.