12.1. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение выборки. Введём обозначения:  число вариант меньших x; n  объём выборки.

Определение 5. Эмпирическая функция распределения определяется формулой .

В отличие от эмпирической функции распределения функцию называют теоретической функцией распределения. При достаточно больших значениях n эмпирическая функция близка к теоретической, что следует из теоремы

Теорема. и имеет место

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки (приближенного выражения) теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример 3. Построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки.

	2	3	5
	5	20	25

Здесь п = 5 + 20 + 25 = 50, а

Тогда получим:

1. Если , то

2. Если , то

3. Если , то

4. Если , то

1

0,5

0,1

0 2 3 5 х

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется статистической функцией распределения? По каким формулам вычисляются ее значения?

2. В чем состоит различие между статистической функцией распределения и функцией распределения случайной величины Х?

Лекция № 13. Точечные и интервальные оценки параметров распределения (2 ч ).

Содержание лекции № 13:

13.1. Точечные оценки

Приближенные значения числовых параметров распределения называются оценками. Различают точечные и интервальные оценки. Первые дают приближенные числовые значения изучаемого параметра , вторые – устанавливают вероятность покрытия этого параметра некоторым интер-валом, называемого доверительным.

К точечным оценкам параметров распределения случайной величины предъявляют следующие требования:

1. Состоятельности: Если точечная оценка параметра , то ;

2. Несмещенности: , т.е. математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру;

3. Эффективности: , т.е. дисперсия принимает минималь-ное значение.

Точечной оценкой для математического ожидания служит выборочное математическое ожидание:

, если все варианты различны,

а в противном случае  .

Эта оценка удовлетворяет всем трём требованиям.

Точечной оценкой для дисперсии служит выборочная дисперсия

или .

Эта оценка является состоятельной и эффективной, но для нее, как можно показать, выполняется

,

т.е. данная оценка является смещенной.

Это можно устранить, если ввести исправленную дисперсию , которая будет удовлетворять всем трём требованиям.

13.2. Интервальные оценки

Пусть для некоторого числового параметра из опыта получена несмещённая оценка . Оценим возможную при этом ошибку. Зададим некоторую вероятность (доверительная вероятность или надёжность) и найдём такое число (точность оценки), для которого выполняется

или . (1)

Равенство (1) нужно понимать так: вероятность того, что интервал (доверительный интервал) покрывает параметр равна .

Ограничимся нахождением доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения для двух случаев:

1. Известно среднее квадратичное отклонение , тогда

или , (2)

где параметр t определяется по таблицам из условия

или .

Из оценки (2) можно сделать два вывода:

а) при возрастании объема выборки п величина убывает, следо-вательно, точность оценки увеличивается;

б) из увеличения надежности оценки следует увеличение параметра t и, соответственно, величины , следовательно, увеличение надежности уменьшает точность оценки.

Пример 4. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратичным отклонением = 5. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки п = 100 при заданной надежности

Из соотношения по таблице находим параметр t = 1,96. Тогда точность оценки

Таким образом, доверительный интервал или

Например, если найденное выборочное среднее , то с ве-роятностью математическое ожидание случайной величины Х попадает в доверительный интервал .

2. Среднее квадратичное отклонение неизвестно. Тогда

,

где s  исправленное среднее квадратичное отклонение, а находится по таблицам критических значений так называемого распределения Стьюдента по значениям и n.

Пример 5. После проверки размера (в мм) выбранных 100 однотипных изделий получен вариационный ряд

	15,7	15,8	15,9	16,0	16,1	16,2
	2	18	30	40	8	2

Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а при заданной надежности считая распределение нормальным.

Найдем выборочное среднее и дисперсию

По таблице с учетом объема выборки п = 100 и заданной надеж-ности находим параметр t = 2,627. Тогда точность оценки

и доверительный интервал или

Вопросы для самоконтроля:

1. Что понимают под оценкой неизвестного параметра? Какая оценка называется точечной?

2. Сформулируйте требования, предъявляемые к оценкам.

3. Какая оценка для математического ожидания обладает свойствами состоятельности и несмещенности?

Лекция № 14. Статистические гипотезы. Проверка гипотез (2ч)

Содержание лекции № 14:

Часто в задачах практики на основании тех или иных данных делается предположение о виде закона распределения интересующей нас случайной величины. Однако, для окончательного решения вопроса о виде закона распределения нужно проверить насколько сделанные предположения согласуются с опытными данными. Таким образом, необходимы критерии, которые позволили бы исследовать как согласуются наблюдаемые значения: случайной величины X с гипотезой относительно её функции распределения. Такие критерии называются критериями согласия. В основе их построения лежит исследование меры отклонения теоретической функции распределения от эмпирической

Наиболее распространённой такой мерой является мера, введённая Пирсоном

. (1)

Множество значений случайной величины Х разбито на т полу-интервалов без общих точек

. . . . .

[ [ [ [ [

Здесь  частота появления признака, принадлежащего интервалу . Очевидно, что объём выборки .

Теоретические частоты , соответствующие эмпирическим, вычислены по предполагаемому закону распределения (гипотеза), для них также выполняется равенство

Величина является случайной величиной, при этом ее распределение не зависит от функции распределения случайной величины X и стремится при к так называемому -распределению с степенями свободы, где r  число параметров теоретического закона.

Из этого следует критерий для проверки гипотезы о распределении изучаемой случайной величины (критерий Пирсона).

Вопросы для самоконтроля:

1. Статистическая проверка гипотез. Постановка задачи.

Лекция № 15. Статистические гипотезы. Критерий Пирсона (2ч)

Содержание лекции № 15:

Рассмотрим применение критерия Пирсона для проверки гипотезы о нормальном распределении.

Пусть эмпирическое распределение задано в виде вариационного ряда равноотстоящих вариант с шагом h

			…
			…

Необходимо:

1. Вычислить выборочное среднее

и исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение

2. Определить теоретические частоты, считая закон распределения нормальным, т.е.

, (2)

где

.

3. По формуле (1) вычислить величину . Пусть она оказалась равной .

4. Определить число степеней свободы для нормального распределения

5. По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k находим критическую точку . Если , то гипотеза о нормальном распределении принимается, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно. В противном случае гипотеза отвергается.

Уровень значимости означает, что вероятность , т.е. осуществление такого события практически невозможно.

Замечание 1. Рассмотренный критерий на практике даёт хорошие результаты, если .

Пример 1. Проверить, согласуются ли данные таблицы с предположением, что рост мужчины является нормально распределённой случайной величиной, приняв уровень значимости

156	11	11	0
160	26	27	0,0370
164	65	65	0
168	120	120	0
172	181	176	0,1420
176	201	199	0,0201
180	170	175	0,1429
184	120	122	0,0328
188	64	66	0,0606
192	28	28	0
196	14	11	0,8182
Итого	0	0	1,2536

Из таблицы следует, что , и теоретические частоты определяем по формуле (2).

Таким образом, . По уровню значимости и числу степеней свободы по таблице критических точек распределения находим = 20,1. Так как , то гипотеза принимается.

Вопросы для самоконтроля:

1. Критерий согласия Пирсона, схема применения.

Лекция № 15. Элементы теории корреляции (2ч)

Содержание лекции № 15: