2.2. Теорема сложения вероятностей
Теорема 2.
.
(4)
Из диаграммы событий легко получить равенства:
,
где
и
попарно
несовместные события. А В
Тогда, согласно третьей аксиоме,
получаем
и
.
Если из последнего равенства выразить
и подставить в первое, то получим
формулу (4).
Следствие 3. Если А и В несовместные события, то получаем третью аксиому.
Пример 2. Вероятности попадания при
двух выстрелах соответственно равны
.
Найти вероятность поражения цели.
Вероятность поражения цели представляет
собой событие
,
где событие А
поражение цели при
первом выстреле, а событие В
- поражение при втором выстреле.
Первый способ: По теореме сложения вероятностей получаем
Второй способ: По формуле (3) получаем
.
Пример 3. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны: 0,05 ; 0,06 ; 0,08 . Найти вероятности событий:
1. Откажет один элемент.
Введём события: А - интересующее нас событие; В - отказал первый элемент; С - отказал второй элемент; D - отказал третий элемент.
Тогда
и, согласно теоремам об умножении и сложении вероятностей, получим
2. Ни один элемент не откажет.
Здесь интересующее нас событие
и тогда
Вопросы для самоконтроля:
1. Сформулируйте теорему сложения для двух произвольных случайных событий.
2. Записать формулу умножения. При каких условиях она имеет место?
3. Дать определение условной вероятности.
4. Сформулировать свойства условной вероятности.
Лекция № 3. Формула полной вероятности, формула Байеса. (2ч)
Содержание лекции № 3:
3.1. Формула полной вероятности
Пусть событие А
может наступить при условии появления
одного из событий
,
образующих полную группу событий. Будем
называть их гипотезами. Пусть
известны вероятности гипотез:
и условные вероятности:
.
Тогда имеет место формула полной
вероятности
Теорема 3.
(5)
Представим событие А в виде
.
Так как события
попарно несовместны, т.е.
,
то и
.
Тогда по третьей аксиоме и теореме умножения вероятностей получим
.
Пример 4. Три станка выпускают одинаковую продукцию. Первый станок выпускает 20%, из них – 5% брака, второй - 30% и 3% брака, третий - 50% и 2% брака. Из общей партии берётся наудачу деталь. Какая вероятность того, что эта деталь бракована?
Пусть А - интересующее нас событие, в качестве гипотез рассмотрим события:
- деталь изготовлена на первом станке,
- деталь изготовлена на втором станке,
- деталь изготовлена на третьем станке,
Тогда по формуле (5) получим
3.2. Формула Байеса
Условия такие же, как и для формулы полной вероятности. Пусть событие А произошло, тогда вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса.
Теорема 4.
.
(6)
По теореме умножения вероятностей имеем
и, с учетом формулы полной вероятности, получаем
.
Пример 5. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором находится бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая равна 0,1, легковая – 0,2. К заправке подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая.
Введём гипотезы:
- подъехала грузовая машина,
- подъехала легковая машина,
Тогда по формуле (6) получаем
Вопросы для самоконтроля:
1. Дать определение полной группы событий.
2. Записать формулу полной вероятности.
3. Записать формулу Байеса. При каких предположениях она имеет место?
Лекция № 4. Повторение независимых испытаний.Формула Бернулли, локальная теорема Муавра-Лапласа (2ч).
Содержание лекции № 4