2. Содержание лекционных занятий

Тема 1. Теория вероятностей. Основные теоремы теории вероятностей (10ч)

Лекция № 1. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Операции над событиями. Статистический подход к понятию вероятности. Элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности, аксиоматическое определение вероятности (2ч)

Содержание лекции № 1:

1.1.Предмет теории вероятностей

До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления и опыты, в которых условия практически однозначно определяли исход. Однако для многих задач практики это обстоит несколько иначе.

Рассмотрим пример из механики. Полёт снаряда – это движение материальной точки под действием двух сил: силы тяжести снаряда и сопротивления воздуха. В действительности же на полёт снаряда влияют: его размеры, метеорологические условия, ошибка в наведении, разный вес и т.д. Этих факторов много и учесть их полное влияние невозможно. За счет чего получается пучок траекторий, называемый “рассеивание снарядов”.

Данное случайное событие (траектория полёта снаряда), рассмотренное в этом примере, есть следствие действия многих случайных причин. Практически невозможно учесть их влияние на результат события, так как их число велико и законы действия не всегда известны.

Однако, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий, то практика показывает, что в массе таких случайных событий обнаруживаются вполне определённые закономерности. Например, если много раз бросать монету, то частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) приближается к числу 0,5.

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей случайных событий.

1.2. Пространство элементарных событий

Теория вероятностей, также как и другие разделы математики, изучает не явления окружающего мира, а их математические модели. В математических моделях случайных событий вероятность рассматривается как функция случайного события. Поэтому в начале определим понятие случайного события.

Определение 1. Множество Е назовём пространством элементарных событий, определяемых результатами данного опыта. Элементы этого множества назовём элементарными событиями.

Эти понятия являются первоначальными. Ввиду большого разнообразия случайных событий нельзя дать более конкретного определения. Рассмотрим ряд примеров, поясняющих выбор множества Е.

Пример 1. Опыт состоит в бросании монеты один раз. Возможными исходами при этом будут – выпадение герба или цифры. Тогда , где  выпал герб,  выпала цифра.

Пример 2. Брошена игральная кость. Здесь - выпало “i” очков.

Пример 3. Работа телефонной станции. Нас интересует число поступивших вызовов в течение суток. Тогда  событие, состоящее в “i  1” вызовах в течение суток.

Пример 4. Нас интересуют траектории частиц при броуновском движении. Здесь , где  непрерывные функции времени t.

Определение 2. Случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Е.

Введём операции над событиями, совпадающие с операциями над множествами.