5.2 Начальные сведения из теории ошибок

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений, точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий.

Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения D - это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением х:

D = l – х. (5.1)

Свойства случайных ошибок:

1. при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, то считается грубой;

2. положительные и отрицательные ошибки равновозможны;

3. среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений:

(5.2)

4. малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Средняя квадратичная ошибка одного измерения - СКО

Обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:

, (5.3)

где , n – количество измерений одной величины.

СКО очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, т.к. каждая ошибка возводится в квадрат.

Доказано, что уже при n = 8, значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается D_пред.; она обычно принимается равной 3m. Считается, что из тысячи измерений только 3 ошибки могут достичь или немного превосходить значение D_пред = 3m.

Отношение m_x/x называется средней квадратичной относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, .

Арифметическая середина

Пусть имеется n измерений одной величины х, то есть

(5.4)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:

. (5.5)

Величина называется арифметической серединой.

(5.6)

.

Это означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины, а при ограниченном количестве измерений х_о является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

, (5.7)

т.е. средняя квадратичная ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Веса измерений

Измерения бывают равноточными и неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол измерить разным количеством приемов, результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что СКО неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия, обозначается буквой р.

, (5.8)

где с – в общем случае произвольное положительное число.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице,

. (5.9)