Вопросы для самопроверки

1. В чем преимущества и недостатки численных методов расчета по сравнению с аналитическими методами?

2. Чем отличается разбиение твердого тела на элементы при методе конечных элементов от разбиения его при методе конечных разностей?

3. Как осуществляется интегральный переход от мгновенного точечного источника теплоты к одномерному (линейному) движущемуся источнику, действующему продолжительное время?

4. При электрическом моделировании каким образом можно задавать определенный закон распределения, который является аналогом закона распределения плотности тепловыделения? Какие линии на модели являются аналогами изотерм?

5. Перечислите основные виды термопар, применяемых при измерении температур в технологических системах, сопоставьте их преимущества и недостатки.

6. Почему проводники закладных термопар следует изолировать за пределами спая от материала образца?

7. Для чего тарируют термопары?

4. Инженерная методика расчета температур на контактных площадках тел

[1] с. 168 – 175.

Температуры на контактных площадках тел, возникающих под действием различных источников и стоков теплоты, могут быть расчитаны путем интегрирования соответствующих выражений. Однако, при сложных формах тел и законах распределения плотности тепловыделения эти расчеты весьма трудоемки, а в ряде случаев вообще невозможно выполнить интегрирование точными методами. Поэтому для практических целей с некоторой долей приближения можно использовать инженерную методику расчета температур.

Идея инженерной методики состоит в том, что формулы для расчета температур представляют в виде ряда сомножителей. Для удобства использования структура сомножителей соответствует структуре кода тепловых задач.

Код задач имеет вид , а формула для расчета температур

(4.1)

Сомножители учитывают:

А_М – мерность источника;

А_С – скорость движения источника;

А_Р – закон распределения плотности тепловыделения источника или стока;

А_Д – длительность функционирования источника;

А_К – конфигурацию источника;

А_О – ограниченность источника;

А_Т – форму тела.

Значение каждого из сомножителей А зависит от значения символа в коде тепловой задачи.

В формулу не входит сомножитель А_У, учитывающий граничные условия на поверхностях тел. В технологических системах чаще всего встречаются два варианта граничных условий – ГУ2 и ГУ3. Формула (4.1) записана для граничных условий ГУ2, когда теплоотдачей с поверхностей, не занятых источниками и стоками теплоты, можно пренебречь. Условия ГУ3 (конвективный теплообмен) можно учесть соответствующими коэффициентами.

Формула (4.1) пригодна для расчета как средних Θ_ср так и наибольших Θ^max температур на контактной площадке. Поэтому каждый из сомножителей может иметь обозначение A^{с р} и A^max.

Инженерную методику расчета температур будем рассматривать при действии двумерных неподвижных и быстродвижущихся источников и стоков теплоты при граничных условиях второго рода (ГУ2), которые наиболее часто встречаются при тепловом анализе технологических систем.

Сомножитель А_м (мерность)

Для двумерных источников

, (4.2)

где q₀ – максимальная плотность тепловыделения, Вт/м² ;

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м°С;

l – характерный размер источника, м.

Характерный размер источника выбирается:

• для неподвижных источников – размер по оси х;

• для быстродвижущихся источников – размер по направлению движения;

• для круговых l = d, где d – диаметр пятна нагрева.

Сомножитель А_с (скорость).

Для неподвижных источников С = 0

; (4.3)

Для быстродвижущихся источников С = 2 зависит от числа Пекле

; (4.4)

Сомножитель А_Р (закон распределения плотности тепловыделения) выбирается из таблицы 4.1.

_{Таблица 4.1 – Значения сомножителя АР}

Закон распределения Р		С = О (неподвижный)		С = 2 (быстродвижущийся)
		А	А	А	А
101		3,06	3,31	0.67	1,0
201		1,53	1,76	0,40	0,47
301		1,53	1,76	0,27	0,67
501		1,49	1,86	0,36	0,44
601		1,49	1,86	0,20	0,54
701		2,7	3,0	0,29	0,49
801		–	–	0,51	0,71

Сомножитель А_Д (длительность)

При установившемся теплообмене (Д = 2)

При неустановившемся теплообмене (Д = 1) зависит от величины критерия Фурье и выбирается из таблицы 4.2.

Таблица 4.2 – Значения сомножителя А_Д

Fо	0,01	0,1	0,5	1	5	10	50	100
	0,107	0,315	0,534	0,653	0.857	0,942	0,968	1,0

Сомножитель А_К (конфигурация)

При К = 1, т.е. площадка, на которой действует источник, имеет вид бесконечной полосы или прямоугольника .

При К = 2 (круговой источник) и Д = 2 (установившийся теплообмен) выбираются из таблицы 4.3.

_{Таблица 4.3 – Значения сомножителя Ак}

Закон распределения Р		С = 0 (неподвижный)		С = 2 (быстродвижущийся)
		А	А	А	А
101		0,43	0,47	0,68	0.85
707		0,35	0,47	1,33	1,0

Сомножитель А_О (ограниченность)

Для неподвижных источников (С = 0):

– в виде неограниченной полосы (0 = 1) ;

– для круговых (0 = 2) ;

– для прямоугольных (0 = 2) зависит от параметра ,

где b – ширина источника и выбирается из таблицы 4.4.

_{Таблица 4.4 – Значения сомножителя АО}

С = 0 (неподвижный)	η	0,5	1,0	2	4	6	8	10	20
		0,52	0,75	0,85	0,90	0,95	0,96	0,97	0,99

Для быстродвижущихся источников (С = 2):

– в виде неограниченной полосы (0 = 1) ;

– для круговых (0 = 2)

– для прямоугольных (0 = 2) зависит от параметра и выбирается из таблицы 4.5.

Таблица 4.5 – Значения сомножителя А_О

C = 2 (быстодвижу- щийся)	U	0,5	1	2	4	6	8	10	20
	А	0,45	0,50	0,72	0,81	0,85	0,87	0,89	0,9
	А	0,39	0,60	0,80	0,95	1,0	1,0	1,0	1,0

Сомножитель А_Т (форма тела).

Для неограниченного пространства (Т = 0)

Для полупространства (Т = 1)

Для других тел зависит от параметра ,

где Δ – толщина пластины или диаметр цилиндра;

l – характерный размер источника.

Для пластин (Т = 2), цилиндров (Т = 7)., клиньев (Т = 8) выбирается из таблицы 4.6.

Таблица 4.6 – Значения сомножителя А_T

С (скорость)	Т (форма тела)	Диапазон значений	А	А
С=2 Быстро- движу-щийся	Т-2 пластина	0,1 ≤ u1 ≤ 1,6	2,14u	2,36u
		u1 > 1,6	2,0	2,0
	Т=7 цилиндр	20 ≤ u1 ≤ 12·103	2,78u	3,06u
		u1 > 12·103	2,0	2,0
С=0 Непод- вижный	Т=8 клин	45° ≤ β ≤ 120°

В последней формуле β – угол заострения клина, град., = . Величина интеграла вероятности erf[k] принимается по таблицам, либо может быть приближенно подсчитана по формуле

(4.5)

Инженерная методика расчета температур на контактных площадках тел позволяет решать балансовые задачи. Эти задачи определяют плотность тепловых потоков теплообмена и законы распределения температур в местах соприкосновения тел технологической системы при граничных условиях четвертого рода (ГУ4).

Использование инженерной методики в решении балансовых задач покажем на примере.

Задача

Наружную поверхность заготовки из стали 20ХН3А упрочняют выглаживанием сферическим индентором из стали ШХ15 радиусом R=10мм (Рис. 4.1).

Рис. 4.1 – Процесс выглаживания поверхности индентором.

Скорость движения заготовки v = 1м/с; сила прижима индентора к заготовке Р = 1000Н. Коэффициент трения между заготовкой и индентором f = 0,12; диаметр пятна контакта d = 1мм. Необходимо рассчитать температуру на поверхности контакта между индентором и заготовкой.

Справочные данные: для стали 20ХН3А:

λ₁ = 33,5 Вт/м°С; ω = 0,066 10 ^{– 4} м²/с;

для стали ШХ15 – λ₂ = 33,4 Вт/м°С; ω = 0,065 10 ^{– 4}м²/с.

Решение:

1. Составляем структурную схему теплообмена.

Структурная схема представляет собой изображения схематизированных тел с относящимися к ним источниками и стоками теплоты, тела условно раздвинуты. (Рис. 4.2).

Рис. 4.2. Структурная схема теплообмена.

На схеме изображены:

I – источник тепловыделения,

I₁ – сток теплоты из заготовки в индентор,

I¹₁ – источник тепловыделения для индентора.

Для одного из двух тел, находящихся в контакте (заготовки), I₁ является стоком теплоты, Для другого тела (индентора) он является источником тепловыделения I¹₁, т.е.

I₁ = I¹₁.

Принимаем некоторые допущения и схематизируем задачу:

– из-за малых размеров пятна контакта по сравнению с размерами заготовки и индентором их можно представить как полупространства;

– на основе опытных данных источник тепловыделения I принимаем распределенным по нормальному круговому закону;

– сток теплоты I₁ также принимаем распределенным по тому же закону;

– будем считать процесс установившимся.

Рассчитываем наибольшую плотность тепловыделения источника I

W = Tv = Pfv = 1000 0,12 1 = 120 Вт,

где Т – сила трения на площадке контакта.

2. Для кругового источника с нормальным законом распределения плотности тепловыделения (формула2.10)

, где R – радиус пятна нагрева; ;

тогда Вт/м².

3. Рассчитываем критерий Пекле для источника I и стока I₁ (на заготовке они движущиеся)

т.е. источник быстродвижущийся.

4. Составляем коды тепловых задач

– для заготовки: источник I: М = 2; К = 2; О = 2; Р = 707; С = 2; Д = 2; Т = 1; У = 2;

сток теплоты I₁: М = 2; К = 2; О = 2; Р = 707; С = 2; Д = 2; Т = 1;У = 2

+ .

Знак + указывает, что это источник теплоты.

Знак – указывает, что это сток теплоты.

– для индентора: источник I¹₁ неподвижный М = 2; К = 2; О = 2;

Р = 707; С = 0; Д = 2; Т = 1; У = 2

+ .

5. Рассчитываем среднюю и максимальную температуру на контактной площадке заготовки:

итоговая плотность теплового потока на заготовке

q = q₀ – q₁ = 4,8·10⁸ – q₁

Используем инженерную методику расчета. Определяем сомножители

(источник быстродвижущийся)

( по таблице 4.1).

(установившийся теплообмен).

(по таблице 4.3)

(источник круговой)

(полупространство).

Подставляя сомножители, имеем :

6. Аналогично рассчитываем среднюю и максимальную температуру на контактной площадке индентора

(источник неподвижный)

;

;

;

;

.

;

.

6. Решаем балансовую задачу.

В первом варианте принимаем условие равенства средних температур на контактной площадке, т. е.

;

Тогда ,

Откуда

Средние температуры

На заготовке

На инденторе ,

что подтверждает принятое допущение.

Во втором варианте принимаем условие равенства максимальных температур в некоторых точках контактной площадки, т. е.

.

Аналогично получаем

;

.

Естественно, что максимальные температуры получились большими, чем средние. Следует отметить, что изложенная методика расчета позволяет рассчитать избыточные температуры, превышающие температуру окружающей среды. Для определения температуры в обычном понимании необходимо к расчетным данным прибавлять температуру окружающей среды.