1.3 Передача теплоты через плоскую стенку

Задача является распространенной, связана с передачей теплоты через пластины, стенки, крышки, ребра (рис.1.2)

Рис. 1.2 – Схема теплообмена через плоскую стенку

На рисунке обозначены

Δ – толщина стенки,

q₁ – плотность равномерно распределенного источника теплоты (нагрев),

q₂ – плотность равномерно распределенного стока теплоты (охлаждение),

Θ₁ и Θ₂ – температуры поверхностей стенки.

Если q₁  q₂, то процесс теплообмена является неустановившимся, температурное поле будет нестационарным, т.е. температуры поверхностей ₁и ₂ будут непрерывно изменяться во времени.

При установившемся теплообмене q₁ = q₂ температуры Θ ₁ и Θ ₂ остаются постоянными во времени.

Рассмотрим установившийся процесс теплообмена, т.е.

Выбираем систему координат(x, y, z). Если принять, как указывалось выше, равномерное распределение плотности тепловых потоков q₁и q₂, то изменение температур вдоль осей y и z будет равным нулю.

В этом случае можно принять , , т. е. температурное поле в стенке будет одномерным. Изотермические поверхности будут расположены перпендикулярно к тепловому потоку.

Выделим слой толщиной dx на расстоянии x от начала координат (рис.1.2).

Плотность теплового потока в слое dx (формула 1.9)

,

откуда d = – (q/)dx.

Принимаем   const, т.е. коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, q = const, т.к. процесс установившийся.

Тогда

Как видим, это уравнение прямой линии.

Величину С определяем из начальных условий.

При x = 0   ₁,таким образом С  ₁.

При x = Δ,  ₂, Подставляя получим , откуда видно, что ₂ < ₁.

Решая уравнение относительно q, имеем

. (1.12)

Плотность теплового потока прямо пропорциональна коэффициенту теплопроводности  и разности температур (₁ – ₂) и обратно пропорциональна толщине стенки Δ. Температура по толщине стенки изменяется по линейному закону (рис1.2).

При установившемся теплообмене тепловой поток через стенку

(Дж), (1.13)

где F – площадь поверхности стенки,м²,

 – время, с,

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м ⁰С,

θ₁ и θ₂ – температуры поверхностей стенки,

Δ – толщина стенки, м.

Отношение Δ носит название тепловая проводимость, а отношение Δ/ – тепловое сопротивление.

1.4 Передача теплоты через цилиндрическую стенку (втулку)

Рис 1.3. Схема теплообмена через цилиндрическую стенку.

Решение задачи теплообмена через цилиндрическую стенку аналогично решению задачи теплообмена через плоскую стенку.

Для установившегося процесса теплообмена могут быть два решения. В случае, если тепловой поток q подводится снаружи, а отводится внутрь

. (1.14)

В случае, если тепловой поток q подводится изнутри, а отводится снаружи

. (1.15)

В этих формулах:

λ – коэффициент теплопроводности, Вт/м·°С;

Θ_н и Θ_в – температуры на наружной и внутренней поверхностях;

r_н и r_в – радиусы наружной и внутренней поверхностей, м.

Количество теплоты, проходящей через цилиндрическую стенку при установившемся теплообмене

Q = q·F·τ (1.16)

Вопросы для самопроверки

1. Чем отличаются друг от друга трех-, дву-, и одномерные температурные поля?

2. Приведите математические выражения, описывающие двумерное стационарное температурное поле.

3. Как расположены по отношению друг к другу векторы градиента температуры и плотности теплового потока?

4. Как изменится распределение температур внутри плоской стенки, если учесть изменение коэффициента теплопроводности с изменением температуры?

Задачи

1. При протягивании отверстия диаметром d = 19,6 мм сила резания Р = 18·10³ Н, скорость резания составляет v = 10 м/мин, длина отверстия l = 24 мм, осевой шаг зубьев протяжки t₀ = 6 мм, ширина ленточек на зубьях f = 1 мм. В протяжку отводится 50 % образующейся теплоты.

О пределить среднюю плотность теплового потока через ленточки протяжки.

Рис. 1.4 – Протягивание отверстия

2. Верхняя крышка передней бабки токарного станка имеет размеры 880x650x12 мм. Материал крышки – серый чугун с коэффициентом теплопроводности λ = 40 Вт/м°С. При длительной работе станка крышка имеет фактическую температуру на внутренней стороне Θ₁ = 33 °С, а на наружной Θ₂ = 32,7 °С.

Определить количество теплоты, которое крышка отдает в окружающую среду за 1 минуту, а также градиент температуры в крышке.

3 . На внутришлифовальном станке производится врезное шлифование отверстия втулки из стали ШХ15 (λ = 34 Вт/м°С) без охлаждения. Температуры при установившемся процессе теплообмена составляют на внутренней поверхности Θ_в = 128 °С, на наружной Θ_н = 40 °С. Размеры втулки D = 70 мм, d = 50 мм, l = 40 мм. Эффективная мощность на круге W_к = 2,5 кВт.

Определить какая доля теплоты отводится в заготовку. Можно принять, что плотность теплового потока по внутренней поверхности распределена равномерно.

Рис. 1.5 – Врезное шлифование