1.2. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение

1. Для задания множеств применяется еще один способ – с помощью теоретико-множественных операций, позволяющих строить из одних множеств другие. Рассмотрим несколько таких операций и их представления диаграммами Венна.

A. Пересечением двух множеств A и B называется множество М = A ∩ B, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам: и множеству A, и множеству B. Пересечение – это общая часть двух множеств (область D на рис. 1.2). Аналогично определяется пересечение трех или более множеств (показано частой штриховкой на рис. 1.3). Символ ∩ означает операцию пересечения множеств.

Термин «пересечение» – по существу геометрического происхождения. Пересечением прямой и плоскости, если прямая не лежит на плоскости и не параллельна ей, является их единственная общая точка. Если прямая и плоскость параллельны, то их пересечение не содержит ни одной точки, т.е. пусто. Если же прямая имеет с плоскостью более одной общей точки, то, как известно, она целиком лежит на плоскости, и их пересечение совпадает с множеством точек этой прямой. В этом случае множество точек прямой есть подмножество множества точек плоскости.

B. Объединением двух множеств A и B называется множество М = A  B, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B (или обоим). При этом каждый элемент входит в объединение один раз. Символ  означает операцию объединения множеств (области С, D, E вместе на рис. 1.2). Объединение трех и более множеств определяется аналогично (показано редкой штриховкой на рис. 1.3).

C. Разностью М = A \ B двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов A, не принадлежащих B. Иначе говоря, чтобы получить разность, нужно из множества A удалить его общие элементы с множеством B (на рис. 1.2 разность A\B=C ). Разность B \ A – область E на рис. 1.2.

D. Симметрическая разность – М = АΔВ - множество элементов, которые принадлежат ровно одному из двух множеств A и B (можно рассматривать как объединение двух разностей): АΔВ = (A\B)  (B\A). На рис. 1.2 АΔВ = С  Е.

Симметрическую разность называют также суммой по модулю 2. Очевидно соотношение: АΔВ = (A  В) \ (A ∩ B).

На рис. 1.4 – частные случаи общей картины, изображенной на рис. 1.2.

а) б) в) г)

Рис. 1.4

Если С = A \ B =  , т.е. A  B, то D = A, E = B \ A, (рис. 1.4, а).

Если D = A ∩ B = , то С = A, E = B (рис. 1.4, б).

Если E = B \ A = , т.е. B  A, то С = A \ B, D = B (рис. 1.4, в).

При равенстве множеств A и B и имеем C = E = , D = A = B, (рис. 1.4, г).

E. Пусть A – некоторое множество в универсальном множестве U. Дополнением множества A называется множество, состоящее из всех элементов множества U, не принадлежащих A. Иными словами, = U \ A (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Примеры. 1. Пересечением множества 5-этажных домов и множества кирпичных домов является множество кирпичных пятиэтажек.

2. Пусть в множестве учеников школы (оно будет служить универсальным множеством U) A – подмножество учащихся, занимающихся спортом; B – подмножество учащихся, интересующихся музыкой; C – подмножество мальчиков. Тогда пересечению A ∩ B принадлежат все учащиеся, увлекающиеся и спортом, и музыкой; в пересечение A ∩ C входят мальчики, увлекающиеся музыкой; объединение A  B – множество учащихся, увлекающихся или спортом, или музыкой, или тем и другим; дополнение – множество школьниц; разность C \ B – множество мальчиков, не интересующихся музыкой; разность B \ C – множество девочек, увлекающихся музыкой.

3. Пусть множество натуральных чисел A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} – делители числа 24; B = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} – делители числа 90. Тогда пересечение A ∩ B = {1, 2, 3, 6} – множество общих делителей этих чисел (6 – наибольший общий делитель).

С помощью введенных операций можно образовывать более сложные комбинации. Например, формула (A \ B) ∩ C представляет множество элементов множества A, не принадлежащих B, но принадлежащих C (рис. 1.6); множество A  (B ∩ C) содержит все элементы, которые принадлежат A, а также общие элементы множеств B и C (рис. 1.7).

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Упражнение. Сформулируйте словами, какие подмножества универсального множества U учеников школы (пример 2) представляются формулами , C \ (A  B), (A ∩ B) \ .

2. На диаграммах Венна легко проверить соотношения:

A ∩ B  A  A  B;

A \ B  A  A  B;

(АΔВ) ∩ (А ∩ B) = ;

если A \ B =  , то A  B;

если A и B – конечные множества, то A  B= А+ B – А ∩ B, в частности, если A ∩ B = , то A  B = А+ B, поскольку  = 0.

Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть U – универсальное множество, A, B, C – его подмножества,  – пустое множество. Равенства 1–10, 15–18 относятся к операциям объединения и пересечения; равенства 11–14 и 19–21 – к операции дополнения.

1. A  B = B  А 2. A ∩ B = B ∩ A

3. (A  B)  C = A  (B  C) 4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

5. (A  B) ∩ C = (A ∩ C)  (B ∩ C) 6. (A ∩ B)  C = (A  C) ∩ (B  C)

7. A  A = A 8. A ∩ A = A

9. A  (A ∩ B) = A 10. A ∩ (A  B) = A

11. = ∩ 12. = 

13. A  = U 14. A ∩ = 

15. A   = A 16. A ∩  = A

17. A  U = U 18. A ∩ U = A

19. =  20. = U

21. = A

Свойства 1, 2 – переместительные законы, свойства 3, 4 – сочетательные законы. Свойства 5, 6 – взаимные распределительные законы каждой из операций ∩,  относительно другой. Свойства 11, 12 называются законами де Моргана для множеств (дополнение к объединению равно пересечению дополнений; дополнение к пересечению равно объединению дополнений). Свойства 13 – 20 - соотношения с универсальным и пустым множествами.

Приведем также некоторые свойства операции разности множеств: A \ B = A ∩ ; A \ A = ; A \  = A; A \ U = ; U \ A = .

3. Разбиение множества A – такая система {B_α} непустых подмножеств множества A, что все попарные пересечения – пусты (B_i ∩ B_j = , если i ≠ j – это свойство называется чистотой разбиения), а их объединение B_α равно A (это называется полнотой разбиения). Сами B_α называются классами, или блоками разбиения.

При анкетировании или классификации объекты распределяются по группам; не входящие в ту или иную конкретную группу, могут составлять группировку «прочие» – для полноты разбиения.

Система курсов данного факультета есть разбиение множества его студентов; система групп есть другое разбиение того же множества. Другой пример: множество всех автомобилей может быть разными способами разбито на классы в зависимости от назначения: транспортные, специальные и гоночные; в свою очередь, транспортные автомобили подразделяются на легковые, грузовые и автобусы. Возможно разбиение в зависимости от марки, объема двигателя, года выпуска, компании-производителя, стоимости и др.

Множество квартир дома разбивается на подмножества квартир, расположенных на одном этаже; другое разбиение – на подмножества квартир из одного подъезда.

Множество R действительных чисел разбивается на множество рациональных и множество иррациональных чисел; множество Z целых чисел разбивается на множество четных и множество нечетных чисел.

Множество прямых на плоскости разбивается на бесконечную совокупность систем прямых, параллельных тому или иному направлению.

Замечание. В последнем примере элементами являются не точки плоскости, а прямые. Поэтому, например, пересечение любого множества горизонтальных прямых и любого множества вертикальных прямых пусто: ведь ни одна прямая не является одновременно горизонтальной и вертикальной.

Если A и B – два подмножества универсального множества U, то 4 подмножества D₀ = ∩ , D₁ = ∩ B, D₂ = A ∩ , D₃ = A ∩ B образуют разбиение множества U (рис. 1.8). Поэтому, если U - конечное множество, то для числа элементов множества и блоков разбиения выполнено равенство U = D₀+ D₁+ D₂+ D₃.

Рис. 1.8

Аналогично, для трех множеств A, B, C разбиение универсального множества U на восемь подмножеств M₀ - M₇ изображено на рис. 1.9. Сами множества A, B, C могут быть представлены как объединения:

A = M₄  M₅  M₆  M₇;

B = M₂  M₃  M₆  M₇;

C = M₁  M₃  M₅  M₇.

Рис. 1.9

Упражнение. Выразить множества M₁ - M₇ с помощью операций , ∩, ‾‾ над множествами A, B, C.

Указание: множество M₀, например, можно представить так: M₀ = .

Замечание. Стоит заметить, что возможно и другое представление: M₀ = ∩ ∩ (равенство этих двух формул – обобщение закона де Моргана).