2.3. Числовые и точечные промежутки

1. Пример, имеющий важные применения, – соответствие между множеством действительных чисел R и множеством точек числовой прямой, т.е. прямой, на которой выбраны начало отсчета (ему сопоставлено число 0) и масштаб, однозначно определяющий равномерную шкалу. Каждой точке прямой соответствует ровно одно действительное число – координата этой точки, и обратно, каждому действительному числу x сопоставляется точка прямой с координатой x. Точка, соответствующая большему числу находится правее, меньшему числу – левее. Данное соответствие позволяет множество чисел интерпретировать на геометрическом языке как множество точек прямой.

Пример числовых множеств (т.е. множеств чисел) специального вида – числовые промежутки. Множество чисел A = {x: a < x < b}, расположенных в промежутке между числами a и b, обозначается (a, b) и называется открытым промежутком, или интервалом. Множество B = {x: a ≤ x ≤ b} обозначается [a, b] и называется замкнутым промежутком, или отрезком. Концы промежутка принадлежат отрезку, но не принадлежат интервалу. Аналогично определяются полуинтервалы [a, b), (a, b] (один конец принадлежит промежутку, другой - не принадлежит), а также бесконечные промежутки (–, b], [a, +), (–, b), (a, +).

Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку, ε-окрестность точки x – симметричный интервал (x–ε, x+ε).

Пример. Пусть A, B, C – множества действительных чисел: A = (–4, 7); B = [0, 10], C = [–1, 4). Числовые промежутки A, B, C изображены на рис. 2.3. Светлыми кружками обозначены концы промежутка, не принадлежащие ему (так, у интервала оба конца – светлые); закрашенными – принадлежащие промежутку.

Рис. 2.3

Тогда A ∩ B = [0, 7); A  B = (–4, 10]; A \ B = (–4, 0); B \ A = [7, 10]; C \ A = ; A \ C = = (–4, –1)  [4, 7).

Упражнение. Покажите на числовой прямой множества B ∩ C, B  C, B \ C, C \ B, A ∩ C, A  C и представьте эти промежутки с помощью введенных выше обозначений.

Замечание. Следует отметить, что одинаковым образом определяются и обозначаются числовые промежутки как в области действительных чисел (и тогда промежуток содержит бесконечное множество чисел), так и в области целых чисел (тогда, например, целочисленный отрезок [–3, 2] содержит 6 чисел: {–3, –2, –1, 0, 1, 2}, а интервал (-3, 2) содержит 4 числа: {–2, –1, 0, 1}.

2. Более сложный пример – соответствие между точками плоскости с прямоугольной (декартовой) системой координат и упорядоченными парами действительных чисел (т.е. пары (3, 5) и (5, 3) считаются различными). Каждой точке плоскости соответствует пара чисел – ее координаты: абсцисса x и ордината y. Обратно, каждой паре чисел соответствует единственная точка с такими координатами. Поэтому плоскость можно рассматривать как прямое произведение R  R = R². Множество точек, которое можно назвать геометрической фигурой, может быть задано аналитическим условием, связывающим координаты этих точек. Такое соответствие служит основанием методов аналитической геометрии на плоскости. Например, множество D = {(x, y): a < x < b, c < y < d} состоит из внутренних точек прямоугольника (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Обычно, если условие, определяющее множество точек плоскости, является равенством, связывающим переменные величины x и y, то это множество представляет собой кривую линию на плоскости. Так, множество

C = {(x, y): x² + y² = 25} (*)

состоит из точек, находящихся на расстоянии 5 от начала координат, т.е. является окружностью радиуса 5. Множество, задаваемое условием K = {(x, y): x² + y² ≤ 25}, представляет собой внутренность круга радиуса 5, включая граничную окружность (поскольку неравенство в условии – нестрогое).

Замечание. Проверьте, что если в условии (*), задающем множество C, число 25 заменить числом 0, то множество C будет состоять из одной точки (0, 0), а если заменить его отрицательным числом (–1), то C будет пустым множеством.

Пример. Рассмотрим два множества точек на плоскости A = {(x, y): y ≤ x}, B = {(x, y): x < 2} (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Первое множество состоит из всех точек, ордината которых меньше или равна абсциссе. Точки, для которых выполнено равенство x = y, образуют биссектрису 1-го и 3-го координатных углов. Точки множества А - полуплоскость, расположенная ниже (в данном случае можно сказать: правее) этой биссектрисы (рис. 2.5, а). Множество В состоит из точек, абсцисса которых строго меньше 2, а ордината – любое число. Эти точки составляют полуплоскость, расположенную левее вертикальной прямой, проходящей через точку 2 на оси ОХ (рис. 2.5, б). Тогда каждое из множеств A ∩ B, A  B, A \ B, B \ A представляет собой множество точек, заполняющих некоторый угол, образованный этими прямыми (рис. 2.6, а, б, в, г).

Рис. 2.6

3. Пусть y = f(x) – числовая функция переменной x. Тогда множество G = {(x, y): y = f(x)} состоит из точек плоскости, первая координата которых принимает значения из области определения функции, т.е. допустимые значения аргумента x, а вторая координата равна соответствующему значению функции y = f(x). Множество G представляет собой график функции: каждому допустимому значению аргумента соответствует ровно одна точка плоскости.