2. Функциональные соответствия

2.1. Соответствие между множествами

1. Одно из основных понятий математики, наряду с понятием множества, – соответствие. Пусть А и В – два произвольных множества (в частности, они могут пересекаться или даже совпадать). Если всем или некоторым элементам множества А сопоставлены каким-нибудь способом один или несколько элементов множества В , то говорят о соответствии G: A → B между множествами A и B. Используя понятие прямого произведения, можно сказать, что соответствием G между множествами A и B называется подмножество пар (a, b)  G  A  B. В этом случае говорят, что b соответствует a. Множество всех b  B, соответствующих элементу a  A, называется образом элемента a. Множество всех a  A, которым соответствует элемент b  B, называется прообразом элемента b. Множество пар (b, a) таких, что (a, b)  G, называется соответствием, обратным по отношению к G и обозначается G^-1. Понятия образа и прообраза для G и G^-1 взаимно обратны.

Примеры. 1. При составлении комплекта из 40 вариантов для тестирования используется 150 задач. Каждый вариант включает 25 различных задач. Обратно, каждая задача соответствует нескольким вариантам, в которых она присутствует (т.е. образом каждого из 40 вариантов является некоторое множество из 25 задач; прообраз каждой из 150 задач – некоторое множество вариантов).

2. Каждой стране поставим в соответствие ее города с населением более 1 млн чел. Некоторым странам будут сопоставлены один или несколько городов; другим (таким, как Непал) не соответствует ни один город.

3. Каждой стране сопоставим столицу.

4. Поставим в соответствие человеку его родителей. Образом при этом соответствии для каждого человека является множество из двух элементов: его мать и отец. Прообразом каждого человека Ч является множество (быть может, пустое) его детей, т.е. тех людей, для которых Ч является матерью или отцом.

5. Каждому целому числу X сопоставим число 2X² (при этом, например, числам 3 и –3 соответствует число 18).

6. Каждому целому числу X сопоставим число X³ (при этом числу 3 соответствует 27, а числу –3 – число –27).

7. Каждому действительному числу X сопоставим число X³ – 9X (при этом число 0 соответствует трем числам: –3, 0 и 3, число 6 – двум числам: - и 2 , а число 28 – одному числу 4).

На рисунке 2.1 проиллюстрированы разные виды соответствия.

а) б) в)

Рис. 2.1

На рис. 2.1, а проиллюстрировано общее понятие соответствия: некоторым, не обязательно всем, элементам множества А соответствуют один или несколько элементов множества В; при этом прообразы некоторых элементов множества В – пусты.

2. Однозначное (функциональное) соответствие A → B, или отображение множества A в множество B – это соответствие, при котором каждому элементу a  A поставлен в соответствие единственный элемент b  B. Например, площадь геометрической фигуры или объем пространственного тела суть их отображения в множество неотрицательных чисел.

Пример. Пусть П - множество сотрудников предприятия, А – множество букв русского алфавита. Отображение П → А, ставящее в соответствие каждому сотруднику первую букву его фамилии. Возможно, что есть несколько человек с фамилиями на одну букву. С другой стороны, ни одна фамилия не начинается с буквы Ь или Ъ.

Если A, B – числовые множества, то соответствие f: A → B называется функцией (хотя иногда функциями называют и не числовые соответствия).

Упражнение. Определите, какие из соответствий семи предыдущих примеров являются функциональными.

Если f: A → B – однозначное соответствие и множество образов элементов A совпадает с множеством B (т.е. каждый элемент множества B соответствует одному или нескольким элементам множества A), то отображение f называется отображением множества A на множество B.

В примере 5 – отображение Z в Z, но не Z на Z (отрицательные числа не соответствуют ни одному значению); в примерах 6 и 7 – отображение Z на Z.

На рис. 2.1, б представлено понятие функционального соответствия: образ каждого элемента множества А состоит из одного элемента множества В или пуст; прообраз элемента множества В может содержать более одного элемента (см. пример 5).