2.2. Найпростіший потік

Потік називається найпростішим, якщо ймовірність надходження в систему, що має заявок, , протягом часу знаходиться за формулою

,

де – стале число, що називається інтенсивністю потоку.

2.3. Опис функціонування марковського процесу з неперервним часом

Припустимо, що в будь-який момент часу система може знаходиться в одному зі станів . Нехай – випадковий процес, рівний номеру стану, в якому знаходиться система в момент часу . Розглядаючи зміни стану системи, будемо казати, що процес перейшов з одного стану в інший. При чому час на такий перехід не витрачається.

Випадковий процес називається марковським, якщо майбутнє процесу залежить тільки від теперішнього і не залежить від минулого. Ця властивість називається відсутністю наслідків. Звичайно, передісторія процесу впливає на його подальший розвиток, але весь цей вплив зосереджено в теперішньому. Виокремлення марковських процесів викликано рядом причин, найважливішими з яких є відносна простота випадкового процесу, що описує еволюцію системи, наявність можливості використовувати добре розроблений математичний апарат для аналітичного дослідження марковських процесів, можливість отримання аналітичних виразів для показників якості систем, і, нарешті, можливість зведення до вказаних моделей більш загальних моделей.

Однорідний марковський процес з дискретною множиною станів і неперервним часом визначається постійними інтенсивностями переходу

зі стану в стан , а також початковим вектором розподілу ймовірностей: , .

Нехай ймовірність перебування системи в момент часу в стані , . Ці ймовірності задовольняють систему звичайних диференціальних рівнянь А.М. Колмогорова:

, , (1)

яка складається за таким правилом: для кожного стану записується рівняння, в лівій частині якого стоїть похідна від , а в правій частині – сума добутків ймовірностей всіх станів, помножених на інтенсивності переходу з цих станів в стан , причому добутки, відповідні виходам зі стану , беруться зі знаком «-», а добутки, відповідні входам в стан , беруться зі знаком «+».

Із системи рівнянь Колмогорова можна отримати модель функціонування системи при тривалій її експлуатації, тобто при . У цьому випадку і . Ймовірності називаються стаціонарними або фінальними ймовірностями. Щодо цих ймовірностей має місце система лінійних алгебраїчних рівнянь

, i=1,2,...,m, (2)

яка повинна розв’язуватись разом з умовою .

Приклад . На рис.2 представлений граф станів системи, дугам якого приписані постійні інтенсивності переходу зі стану в стан. У момент часу система перебувала в стані . Потрібно скласти математичну модель для нестаціонарного і стаціонарного режиму функціонування системи.

Рис. 2. Граф станів системи

Наведене вище правило дозволяє записати наступну систему диференціальних рівнянь:

.

Оскільки при система знаходилась в стані , то мають місце початкові умови: , , . Розв’язання системи при заданих початкових умовах (аналітичними або чисельними методами) дозволяє знайти ймовірності перебування системи в кожному стані, .

Із системи диференціальних рівнянь випливає математична модель функціонування системи при тривалій експлуатації:

.

Отримана система є невизначеною і повинна вирішуватися при додатковій умові: . З розв’язку системи алгебраїчних рівнянь визначаються фінальні ймовірності , .