3.2.3 Стационарні характеристики смо

На основі отриманих значень ймовірностей перебування системи в станах визначаються необхідні показники ефективності стаціонарного режиму. А саме,

• – ймовірність того, що всі машини не працюють;

• – ймовірність того, що одна машина зайнята рубкою;

• – ймовірність того, що дві машини зайняті рубкою;

• – ймовірність того, що дві машини зайняті рубкою і одна колода очікує в черзі;

• – ймовірність того, що дві машини зайняті рубкою і дві колоди очікують у черзі.

Розглянемо інші показники ефективності роботи СМО.

Нехай – число машин, зайнятих рубкою. Це є випадкова величина з можливими значеннями: 0, 1, 2. Імовірності цих значень відповідно рівні

,

,

.

Тоді середнє число машин, зайнятих рубкою, є математичне сподівання випадкової величини, що дорівнює

.

Отже, середнє число працюючих машин дорівнює 1,54.

Нехай – число машин, вільних від рубки. Це є випадкова величина з можливими значеннями: 0, 1, 2. Імовірності цих значень відповідно рівні

,

,

.

Тоді середнє число машин, вільних від рубки, є математичне сподівання випадкової величини, що дорівнює

.

Отже, середнє число простоюють машин дорівнює 0,46. Загальна кількість зайнятих і вільних від рубки машин дорівнює

.

Коефіцієнт завантаження машин дорівнює відношенню середнього числа завантажених машин до загальної кількості машин в цеху, тобто.

.

Тоді у відсотках .

Коефіцієнт простою машин дорівнює відношенню середнього числа машин, вільних від рубки, до загальної кількості машин в цеху, тобто

.

Тоді у відсотках .

Нехай – число колод у черзі. Це є випадкова величина з можливими значеннями: 0, 1, 2. Імовірності цих значень відповідно рівні

,

,

.

Тоді середнє значення колод в черзі є математичне сподівання випадкової величини, що дорівнює

.

Таким чином, середнє число колод, що знаходяться в черзі на рубку, так само 0,47, тобто менше однієї колоди.

3.2.4 Математична модель нестаціонарного режиму

Позначимо ймовірність перебування системи в момент часу в стані , . Це – перехідні ймовірності, що змінюються з часом. Згідно з правилом, сформульованим у п.2.4, нестаціонарний режим описується наступною системою диференціальних рівнянь, складеною за графом станів, зображеному на рис.4:

. (14)

Розв’язання цієї системи має задовольняти початкову умову

, , (15)

що означає, що в момент часу система знаходиться в стані : колод в цеху немає, рубальні машини простоюють і черга відсутня. Контролем правильності розв’язку є умова нормування

, (16)

яке означає, що для будь-якого моменту часу сума ймовірностей постійна і дорівнює . Це випливає з зауваження п.2.6.

Розв'язання завдання (14) – (15) отримаємо в Excel на Листі 2 методом Ейлера, як показано в табл.6.

Таблиця 6

	A	B	C	D	E		F		G	H	I
1		6,07	Розв'язання системи диференціальних рівнянь
2		3,1	t								
3	h	0,05	0,00	1	0	0		0		0	1
4			0,05	0,6965	0,3035	0		0		0	1
5			0,10	0,532155	0,375733	0,092112		0		0	1
6			0,15	0,428884	0,393523	0,149636		0,027956		0	1
7			0,20	0,359714	0,389646	0,185935		0,05622		0,008485	1
8			0,25	0,310936	0,377807	0,20755		0,08079		0,022917	1
…			…	…	…	…		…		…	…
42			1,95	0,117569	0,229212	0,223365		0,217563		0,212291	1
43			2,00	0,117415	0,229044	0,223341		0,21769		0,212511	1

У клітинках B1 і B2 помістимо значення інтенсивностей і . У клітинку B3 помістимо значення кроку інтегрування . Приймемо, спочатку . Блок клітинок C3: H3 зарезервуємо для запису часу початку функціонування системи та початкових ймовірностей , узятих з (15). У блоці клітинок C4: H4 помістимо формули Ейлера з п.2.7, за якими розраховуються ймовірності для поточного моменту часу за відомими ймовірностями для попереднього моменту часу . Ці формули наведені в табл.7.

Таблиця 7

C4	C3 + $B$3
D4	D3 + $B$3 * (-$B$1 * D3 + $B$2 * E3)
E4	E3 + $B$3 * ($B$1 * D3 – ($B$2 + $B$1) * E3 + 2 * $B$2 * F3)
F4	F3 + $B$3 * ($B$1 * E3 – (2 * $B$2 + $B$1) * F3 + 2 * $B$2 * G3)
G4	G3 + $B$3 * ($B$1 * F3 – (2 * $B$2 + $B$1) * G3 + 2 * $B$2 * H3)
H4	H3 + $B$3 * ($B$1 * G3 – 2 * $B$2 * H3)

Протягуючи ці формули вниз, отримаємо розв’язання системи рівнянь.

В табл.6 колонка I служить для контролю правильності введених співвідношень, а також для контролю правильності вибору кроку інтегрування. У клітку I3 запишемо формулу

= СУММ( D3 : H3 ),

яку протягнемо вниз. Для прийнятого кроку елементи цієї колонки не рівні «одиниці». Зменшимо крок інтегрування до . Тоді всі елементи колонки I стануть рівними «одиниці». А це означає правильність рішення системи диференціальних рівнянь (14).

Ймовірності зі зростанням часу наближаються до своїх стаціонарних значень , не залежних від часу і отриманим в п.3.2. Тому таблицю ймовірностей слід обчислювати до тих пір, поки ні будуть виконуватися співвідношення:

, , , , .

Як випливає з табл.2, зазначені співвідношення виконуються з точністю до трьох знаків після коми вже для моменту часу .

Графічна ілюстрація ймовірностей з табл.6 наведено на рис.5.

Рис.5. Ймовірності станів системи

Рисунок 5 свідчить про досить швидке входженні процесу в стаціонарний режим, при якому ймовірності практично не змінюються, а графіки стають паралельними осі часу.