2.6 Розв’язання системи диференціальних рівнянь

Розглянемо систему диференціальних рівнянь -го порядку, яка в загальному випадку може бути представлена у вигляді.

. (8)

Невідомими в цій системі є функції , . У момент часу значення цих функцій відомі:

, , …, . (9)

Вони утворюють початкові умови функціонування системи. Існує велика кількість машинних методів розв’язанням задачі (8) – (9). Наведемо алгоритм найпростішого способу розв’язанням системи диференціальних рівнянь, що задовольняє заданим початковим умовам – методу Ейлера.

Задаємо крок зміни аргументу . Величину кроку можна буде змінювати для отримання необхідної точності розрахунків. Результатом розв’язанням системи буде табл. 1 значень функцій , у вузлах , , ,…, . Тут - момент часу, до якого знаходиться розв’язок системи рівнянь.

Таблиця 1

Номер рядка				...		Сума ймовірностей
0				....
1				....
2				....
…	...	...	...	...	...	…
k				....

Згідно з методом Ейлера табл.1. заповнюється по рядках. Значення ймовірностей в 0-му рядку відомі з початкових умов. Значення ймовірностей в 1-му рядку розраховуються на основі відомих ймовірностей 0-го рядка за формулами

.

Значення ймовірностей у 2-му рядку розраховуються на основі відомих ймовірностей 1-го рядка за формулами

.

Цей процес триває до тих пір, поки ми не дійдемо до останнього рядка. Значення ймовірностей в k-му рядку розраховуються на основі відомих ймовірностей попереднього k-1-го рядка за формулами

.

Зауваження. У багатьох системах диференціальних рівнянь (8) сума правих частин дорівнює нулю. Тоді сума всіх ймовірностей для будь-якого моменту часу буде постійною величиною, що дорівнює відомій сумі початкових ймовірностей . У цьому випадку необхідно проводити контроль правильності обчислень, підсумовуючи ймовірності в кожному рядку. Суми повинні бути однакові і рівні . Ця обставина може служити підставою правильності вибору кроку інтегрування.

2.7 Коефіцієнти завантаження і простою машин в СМО виду .

Отримаємо формули для коефіцієнтів завантаження і простою машин в залежності від часу.

Число машин, зайнятих рубкою, є випадкова величина , закон розподілу ймовірностей якої наведено в табл.2.

Таблиця 2

Розподіл ймовірностей числа машин зайнятих рубкою

	0	1	...
			...

Середнє число таких машин являє собою математичне сподівання , розраховане за формулою

.

Коефіцієнт завантаження машин дорівнює відношенню середнього числа завантажених машин до загальної кількості машин в цеху, тобто

. (10)

Число машин, вільних від рубки, є випадкова величина , закон розподілу ймовірностей якої наведено в табл.3.

Таблиця 3

Розподіл ймовірностей числа машин, вільних від рубки

	0	1	...
			...

Середнє число машин, вільних від рубки, являє собою математичне сподівання , розраховується за формулою

.

Коефіцієнт простою машин дорівнює відношенню середнього числа машин, вільних від рубки, до загальної кількості машин в цеху, тобто

. (11)