3. Хід роботи

3.1 Постановка задачі

В систему, що складається з рубальних машин, надходить найпростіший потік колод з інтенсивністю . Кожна машина має показниковий (експоненціальний) закон рубки з інтенсивністю . Якщо кількість колод, що надійшли в рубку, більше числа машин, то утвориться черга, довжина якої обмежена і не може перевищувати одиниць. Потрібно проаналізувати роботу цеху, як СМО з чергою скінченої довжини.

Для цього необхідно виконати наступні пункти:

1. Вказати можливі стани системи і описати її функціонування графом станів. На графі показати інтенсивності переходу зі стану в стан.

2. Скласти математичну модель функціонування системи для стаціонарного режиму у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Знайти розв’язок системи.

3. Визначити наступні стаціонарні характеристики ефективності системи:

а) ймовірність, що машин зайняті рубкою ( );

б) ймовірність, що всі машини зайняті рубкою і колод знаходяться в черзі ( );

в) середнє число машин, зайнятих рубкою;

г) середнє число машин, вільних від рубки;

д) коефіцієнт завантаження машин;

е) коефіцієнт простою машин;

ж) середнє число колод в черзі.

4. Скласти математичну модель функціонування системи для нестаціонарного режиму у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь. Розв’язати систему на ЕОМ. Знайти ймовірності перебування системи в кожному стані як функції часу.

5. Визначити зміну коефіцієнтів завантаження і простою машин в залежності від часу. Побудувати відповідні графіки.

6. Вказати заходи щодо поліпшення роботи цеху

3.2 Приклад виконання лабораторної роботи №6

Вихідні дані для аналізу СМО містяться в табл.4.

Таблиця 4

6,07	3,1	2	2

Відповідно до прийнятого вище кодування розглянута система відповідає класу .

3.2.1 Граф станів

Перерахуємо можливі стани системи:

– в системі немає колод, машини вільні від рубки;

– в системі 1колода, одна машина зайнята рубкою;

– в системі 2 колоди, дві машини зайняті рубкою;

– в системі 3 колоди, дві машини заняті рубкою, одна колода знаходиться в черзі;

– в системі 4 колоди, дві машини зайняті рубкою, дві колоди знаходяться в черзі.

Граф станів наведено на рис.4. Переходи зліва направо пов’язані з надходженням в систему чергової колоди, тому всі інтенсивності переходів однакові і дорівнюють . Переходи справа наліво обумовлені закінченням рубки колоди. У стані працює одна машина, тому інтенсивність переходу зі стану в стан дорівнює . У станах , і працює дві машини, тому відповідні інтенсивності переходів дорівнюють .

Рис.4. Граф станів системи

Даний граф описує процес розмноження і загибелі. Тому для нього справедливі всі співвідношення п. 2.4. Проте, ми отримаємо дані співвідношення ще раз безпосередньо по графу станів.

3.2.2 Математична модель стаціонарного режиму

Нехай – стаціонарна ймовірність перебування системи в стані , . Тоді має місце наступна система алгебраїчних рівнянь, що описує стаціонарний режим:

(12)

Цю систему слід розв’язувати разом з умовою нормування

. (13)

Скористаємося для цієї мети електронною таблицею Excel. На Листі 1, як показано в табл.5, в клітинці B1 і B2 помістимо значення інтенсивностей і . Блок клітинок D3: H3 зарезервуємо для запису значень шуканих ймовірностей (відзначені жовтим кольором). Ці клітинки спочатку порожні. У блоці клітинок D4: H7 помістимо коефіцієнти при невідомих системи (12), за винятком останнього рівняння. Останнє рівняння системи (12) замінимо умовою нормування (13), тоді в блоці клітинок D8: H8 будуть розташовуватися «одиниці».

Таблиця 5

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1		6,07		Розв'язання системи алгебраїчних рівнянь
2		3,1
3				0,116423	0,227965	0,223185	0,218505	0,213923
4				-6,07	3,1	0	0	0	4,17E-08	0
5				6,07	-9,17	6,2	0	0	4E-08	0
6				0	6,07	-12,27	6,2	0	1,05E-07	0
7				0	0	6,07	-12,27	6,2	1,03E-07	0
8				1	1	1	1	1	1,000001

Блок клітинок I4 : I8 містить формули для запису лівих частин системи рівнянь (10) і (11), а саме, в клітку I4 помістимо формулу

= СУММПРОИЗВ( $D$3 : $H$3 ; D4 : H4 ),

яку протягнемо на блок клітинок I5: I8. У блоці клітинок J4: J7 містяться праві частини системи (12), що дорівнюють «нулю».

Звернення до процедури «Пошук рішення» дозволить знайти розв’язок системи рівнянь (12). Для цього слід у вікні вказати:

• цільову клітинку, в даному випадку I8, рівну значенню 1 (умова нормування);

• змінювані клітинки, в даному випадку блок D3: H3;

• обмеження, в даному випадку I4: I7 = J4: J7.

Після натискання клавіші «Виконати» в блоці D3: H3 отримаємо розв’язок системи рівнянь. Таким чином, стаціонарні ймовірності дорівнюють , , , , .