1.2 Методы расчета простых электрических цепей

Простая электрическая цепь – цепь, в которой все источники электромагнитной энергии можно свести к одному эквивалентному простым алгебраическим сложением.

Метод эквивалентных преобразований

Согласно этому методу отдельные участки схемы с последовательно или параллельно соединенными элементами заменяют одним эквивалентным элементом. Постепенным преобразованием участков схему упрощают и приводят к простейшей схеме, состоящей из одного эквивалентного элемента.

Рассмотрим этот метод на примере (рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5

Ветви с сопротивлениями R₄ и R₅ соединены параллельно, и их можно заменить одной эквивалентной ветвью с сопротивлением . После этого схема несколько упрощается и приобретает вид схемы, представленной на рис. 5 Сопротивления R₃ и R₆ этой схемы соединены последовательно, их эквивалентное сопротивление

R₇ = R₃ + R₆. (8)

Теперь схема приобретает вид, показанный на рис. 6.

Рис. 6

Здесь сопротивления R₂ и R₇ соединены параллельно

, (9)

а полученное сопротивление R₈ c R₁ – последовательно. Эквивалентное сопротивление всей схемы

(10)

дает возможность определить общий ток I₁ исходной схемы (см. рис. 4):

(11)

Затем можно найти напряжение на участке AB, используя второй закон Кирхгофа

(12)

и токи

. (13)

Токи в ветвях с сопротивлениями R₄ и R₅ можно определить по формулам

, (14)

. (15)

Метод пропорциональных величин

Данный метод можно применять лишь для расчета цепей с линейными элементами, он основан на том, что в линейной цепи с одним источником питания существует прямо пропорциональная зависимость между напряжением на входе схемы и токами её отдельных ветвей. Поэтому всякое изменение напряжения в К раз на входе схемы сопровождается изменением токов ветвей тоже в К раз.

Воспользуемся этим свойством для определения токов схемы (см. рис. 4).

Задаем произвольное значение тока (например, 1 А) в ветви, наиболее удаленной от источника питания – в сопротивлении R₅. По заданному току и сопротивлению R₅ определяем напряжение

.

Далее определяем токи и напряжения:

После этого находим токи

Используя второй закон Кирхгофа, определяем напряжение, поданное на вход схемы , которое будет отличаться от заданного значения U. Вычислим коэффициент пропорциональности и, умножая на него полученные при расчете значения токов и напряжений, найдем их действительные значения.

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 7

Дано:

Определить токи.

Решение

1) Используем метод эквивалентных преобразований

Определяем эквивалентное сопротивление схемы (рис. 7).

Сопротивления R₂ и R₃ соединены параллельно:

Ом.

R₂₃, R₁ и R₄ соединены последовательно, поэтому

Ом.

Ток

Используя второй закон Кирхгофа, определим напряжение на участке а–б.

В;

А;

А.

Токи I₂ и I₃ можно определить, используя следующие формулы:

А;

.

2) Используем метод пропорциональных величин.

Зададим ток А.

Определим напряжение

В.

Определим ток

А.

Используя первый закон Кирхгофа, вычислим ток

А.

Напряжение на входе схемы определим, используя второй закон Кирхгофа:

В.

Коэффициент пропорциональности

4.

Используя коэффициент пропорциональности, вычислим реальные токи

А;

Пример 2

Рис. 8

Дано:

U = 200 В;

R₁ = 5 Ом;

R₂ = 10 Ом;

R₃ = 3 Ом;

R₄ = 10 Ом;

R₅ = 10 Ом;

R₆ = 2 Ом.

Определить токи, используя метод эквивалентных преобразований.

Решение

Преобразуем схему (рис. 8) и рассчитаем ее эквивалентное сопротивление. Сопротивления R₄ и R₅ соединены параллельно:

Ом.

Следует заметить, что если соединены параллельно два одинаковых сопротивления, то всегда эквивалентное сопротивление в два раза меньше.

Сопротивления R₄₅, R₃ и R₆ соединены последовательно, поэтому

R₃₆ = R₄₅ + R₃ + R₆ = 5 + 3 + 2 = 10 Ом.

R₂ и R₃₆ соединены параллельно, поэтому

Ом.

Эквивалентное сопротивление схемы R_экв = R₁ + R₂₆ = 5 + 5 = 10 Ом.

Ток на неразветвленном участке цепи:

А.

Выполняем обратное преобразование схемы. Предварительно заметим, что

В;

А; А.

Согласно второму закону Кирхгофа

В,

A, так как R₄ = R₅.

Пример 3

Рис. 9

Дано:

U₁ = 140 В;

R₁ = R₃ = 10 Ом;

R₂ = 5 Ом;

R₄ = 20 Ом;

R₅ = R₆ = 40 Ом.

Определить токи, используя метод пропорциональных величин

Решение

Зададим ток I´₆ = 1 А. Определим U´_вб = I´₆∙R₆ = 1∙40 = 40 В.

Согласно закону Ома определим токи

А и А.

Используя первый закон Кирхгофа, вычислим ток

А.

Согласно второму закону Кирхгофа:

U´_аб = I´₃∙R₃ + U´_вб = 4∙10 + 40 = 80 В;

А;

А.

Итак, расчетное напряжение на входе схемы

В.

Определим коэффициент пропорциональности

Используя k, вычислим токи реальной схемы: