2 Электрические однофазные цепи синусоидального тока

2.1 Основные понятия и определения

Электрическая цепь синусоидального тока – электрическая цепь, в которой действуют токи, напряжения и ЭДС, изменяющиеся во времени по синусоидальному закону, например:

Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС – величины периодические.

Основные параметры синусоидальных токов, напряжений и ЭДС:

Мгновенные значения u, i, e – значения синусоидальных величин в рассматриваемый момент времени t.

Период Т, с – промежуток времени за который совершается одно полное колебание.

Частота f, Гц, – число полных колебаний периодической величины в течение одной секунды, величина, обратная периоду

Амплитуда (I_m , U_m , E_m) – максимальное значение синусоидальной величины.

Фаза (фазовый угол), рад, – аргумент синусоидальной величины

Начальная фаза ψ, рад, – значение фазы в момент времени t = 0, величина, характеризующая стадию периодического процесса.

Угловая частота ω, рад/с связана с частотой и периодам соотношением

Сдвиг фаз – разность фаз двух синусоидальных величин. Угол сдвига фаз между напряжением и током обозначают буквой φ (рад, град). В соответствии с определением

(23)

Возможны следующие варианты:

1) – характер нагрузки активный, ток и напряжение совпадают по фазе;

2) – характер нагрузки индуктивный, напряжение по фазе опережает ток на угол ;

3) – характер нагрузки емкостной, ток по фазе опережает напряжение на угол ;

4) – характер нагрузки активно-индуктивный, напряжение опережает ток на угол ;

5) – характер нагрузки активно-емкостной, ток опережает напряжение на угол .

Действующие значения периодических переменных тока, напряжения и ЭДС – это среднеквадратичные значения этих величин за время, равное одному периоду:

Для синусоидальных токов, напряжений и ЭДС справедливы соотношения:

. (24)

Действующие значение тока, напряжения и ЭДС не зависят от времени и являются эквивалентными постоянным величинам тока (I), напряжения (U) и ЭДС (E), которые производят в электрической цепи такое же действие, что и переменный ток (i), напряжение (u) и ЭДС (e) за такой же промежуток времени.

2.2 Основы классического метода расчёта электрических цепей

При анализе работы электрических цепей переменного тока приходится встречаться со сложением синусоидальных токов, напряжений и ЭДС одной и той же частоты, имеющих разные амплитуды и начальные фазы. Эта задача решается просто и наглядно, если для изображения синусоидальных функций пользоваться вращающимися векторами.

Изобразим синусоидальную функцию тока вращающимся вектором. На декартовой плоскости (рис. 24) отложим угол от оси абсцисс против вращения часовой стрелки (если угол , то по направлению вращения часовой стрелки) и проведем вектор , длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде тока . Будем вращать этот вектор с угловой скоростью ω против часовой стрелки. По истечении промежутка времени t вектор повернется на угол и составит с осью ОХ угол . Проекция этого вектора на ось OY будет , т.е. в принятом масштабе даст значение для момента времени t. Таким образом, вектор суммы нескольких синусоидальных токов, напряжений или ЭДС можно получить путем геометрического суммирования изображающих их векторов.

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих синусоидальные токи, напряжения или ЭДС, построенных с соблюдением их правильной ориентации относительно друг друга.

На векторной диаграмме важно взаимное расположение векторов относительно друг друга и несущественно расположение этих векторов относительно осей. Вследствие этого один из векторов можно расположить как угодно, но все остальные векторы должны быть правильно ориентированы по отношению к этому, произвольно выбранному, вектору.

Рис. 24

Основной задачей расчёта цепи переменного тока является определение величины тока по заданному напряжению на зажимах цепи и параметрам электрической цепи. Пусть к электрической цепи (рис. 25) приложено напряжение, описываемое следующим законом: .

Рис. 25

Напряжение на зажимах данной электрической цепи равняется сумме падений напряжений на всех элементах рассматриваемой электрической схемы в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

(25)

В рассматриваемой электрической цепи (рис. 25) все элементы соединены последовательно, через них протекает один и тот же ток.

Величина тока в цепи, в виде синусоидальной функции той же частоты, определяется зависимостью

. (26)

_{Построим векторную диаграмму (рис. 26).} Отложим вектор в произвольно выбранном направлении и относительно него изобразим векторы: , , . Вектор совпадает по фазе с вектором тока , так как . Вектор напряжения опережает ток на угол , и повернут относительно вектора тока на угол в 90º в положительном направлении (против часовой стрелки). Вектор напряжения отстает от тока на угол и повернут относительно вектора тока на угол в 90º в отрицательном направлении (по направлению часовой стрелки). Геометрическая сумма данных векторов напряжений в соответствии с выражением (25) позволит получить вектор приложенного к цепи напряжения

Из векторной диаграммы (рис. 26) видно, что векторы напряжения и тока смещены относительно друг друга на угол (23), откуда следует, что . Так как , следовательно . Закон изменения тока можно записать в следующем виде:

(27)

Рис. 26

Из треугольника OAB (рис. 26) определим величину действующего значения тока I:

(28)

где R – активное сопротивление цепи, Ом;

– реактивное (индуктивное) сопротивление цепи, Ом;

– реактивное (емкостное) сопротивление цепи, Ом;

– полное сопротивление цепи, Ом.

Умножив обе части равенства (28) на получим закон Ома в классической форме записи, выраженный через амплитудные значения тока и напряжения:

Из того же треугольника ОАВ (рис. 26) можно выразить величину угла φ:

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 27, состоящую из трех параллельно соединенных элементов. Пусть к цепи приложено напряжение при этом ток имеет вид (27) и в соответствии с первым законом Кирхгофа равен сумме токов, протекающих через параллельно соединенные элементы:

(29)

Рис. 27

Построим векторную диаграмму (рис. 28). При параллельном соединении элементов цепи общим для них является напряжение U на входных зажимах, поэтому строим все векторы токов относительно вектора напряжения . Векторная диаграмма приведена на рис. 28.

Рис. 28

На рис. 28

Из треугольника OAB (рис. 28) определим величину действующего значения тока I:

(30)

где – активная проводимость, См;

– реактивная (индуктивная) проводимость, См;

– реактивная (емкостная) проводимость, См;

y – полная проводимость, См.

В амплитудных значениях выражение (30) имеет вид .

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется следующим выражением:

.

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 29

Дано:

R = 20 Ом;

X_L = 20 Oм;

Для схемы (рис. 29) найти закон изменения тока, действующее значение тока и построить векторную диаграмму.

Решение

Модуль полного сопротивления цепи

Амплитудное значение тока

Угол сдвига фаз между напряжением и током

Начальная фаза тока

Закон изменения тока

Действующее значение тока

Для построения векторной диаграммы определим падения напряжений на элементах цепи:

на активном сопротивлении

на индуктивном сопротивлении

Выбираем масштаб и строим векторную диаграмму.

Вектор тока откладываем в произвольном направлении. Вектор напряжения совпадает по фазе с вектором тока, вектор опережает ток на

Векторная диаграмма приведена на рис. 30.

Рис. 30

Пример 2

Рис. 31

Дано:

R = 20 Ом;

X_C = 20 Oм

Для схемы (рис. 31) найти закон изменения тока, действующее значение тока и построить векторную диаграмму.

Решение

Модуль полного сопротивления цепи

Амплитудное значение тока

Угол сдвига фаз между напряжением и током

Начальная фаза тока

Закон изменения тока

Действующее значение тока

Для построения векторной диаграммы определим падения напряжений на элементах цепи:

на активном сопротивлении

на емкостном сопротивлении

Выбираем масштаб и строим векторную диаграмму.

Вектор тока откладываем в произвольном направлении. Вектор напряжения совпадает по фазе с вектором тока, вектор отстает от тока на

Векторная диаграмма приведена на рис. 32.

Рис. 32

Пример 3

Рис. 33

Дано:

U_m = 460 B; ;

R₁ = 4 Ом; X_L = 8 Ом;

R₂ = 6 Ом; X_С = 4 Ом.

Для данной электрической цепи (рис. 33) определить показания приборов, указанных на схеме, закон изменения тока в цепи, закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр, построить векторную диаграмму.

Решение

Мгновенное значение напряжения на входе схемы

Действующее значение напряжения

Эквивалентное сопротивление схемы

Действующее значение тока

Угол сдвига фаз между напряжением и током

Начальная фаза тока

Закон изменения тока

Показания приборов:

амперметра

вольтметра

Закон изменения напряжения на емкости

так как то

Для построения векторной диаграммы определим падения напряжений на элементах цепи:

на активных сопротивлениях R₁ и R₂

на емкостном сопротивлении

закон изменения напряжения на емкости

так как ,

на индуктивном сопротивлении

Выбираем масштаб и строим векторную диаграмму.

_{Вектор тока} откладываем в произвольном направлении. Векторы напряжения и совпадают по фазе с вектором тока. Суммарный вектор напряжения на активных элементах . Вектор отстает от вектора тока на , вектор опережает вектор тока на . Суммарный вектор напряжения на реактивных элементах

Векторная диаграмма приведена на рис. 34.

Рис. 34

Пример 4

Рис. 35

_Дано:

Определить закон изменения тока, действующее значение тока и построить векторную диаграмму.

Решение

Активная проводимость

Реактивная проводимость

См;

Полная проводимость

Угол сдвига фаз

Амплитуда тока

Начальная фаза тока

Закон изменения тока

Действующее значение тока

Для построения векторной диаграммы определим токи в ветвях схемы

Выбираем масштаб и строим векторную диаграмму.

Вектор напряжения откладываем в произвольном направлении. Вектор тока совпадает по фазе с вектором напряжения , вектор отстает от вектора напряжения на .

Зная положение векторов напряжения и токов относительно друг друга, строим векторную диаграмму (рис. 36).

Рис. 36

Пример 5

Рис. 37

Дано:

Определить закон изменения тока, действующее значение тока и построить векторную диаграмму.

Решение

Активная проводимость

Реактивная проводимость

Полная проводимость

Угол сдвига фаз

Амплитуда тока

Начальная фаза тока

Закон изменения тока

Действующее значение тока

Для построения векторной диаграммы определим токи в ветвях схемы

Выбираем масштаб и строим векторную диаграмму.

Вектор напряжения откладываем в произвольном направлении. Вектор тока совпадает по фазе с вектором напряжения , вектор опережает вектор напряжения на .

Векторная диаграмма приведена на рис. 38.

Рис. 38