1.4 Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма – это график изменения потенциала в замкнутом контуре. Каждой точке замкнутого контура соответствует точка на потенциальной диаграмме. При построении графика по оси абсцисс откладывают сопротивления в порядке обхода контура, по оси ординат – потенциалы.
Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы (рис. 12). Выберем замкнутый контур abcdea, включающий в себя обе ЭДС.
Потенциал точки
a примем
.
Эта точка на графике расположена в
начале координат.
Потенциал точки b:
Произведение
берем со знаком минус, так как ток течет
из точки с большим потенциалом в точку
с меньшим потенциалом, следовательно,
значение потенциала точки b
будет меньше потенциала точки a
на величину падения напряжения
.
Рис. 12
Координаты точки
b – по оси абсцисс
–
,
по оси ординат –
.
Потенциал точки c:
Произведение
берем со знаком плюс, так как потенциал
в точке c больше,
чем в точке b,
на величину падения напряжения
.
Координаты точки c
– по оси абсцисс –
,
по оси ординат –
.
Потенциал точки d:
Значение источника
ЭДС
взято
со знаком минус, так как его действие
направлено к точке с, увеличивая
её потенциал относительно точки d.
Если же рассматривать все вышеописанное
относительно точки d,
то можно сказать, что потенциал точки
d меньше
потенциала точки с на величину
.
Координаты точки d
– по оси абсцисс
,
по оси ординат –
.
Это вертикальная линия, так как источник
идеальный и его внутренне сопротивление
равно 0.
Потенциал точки e:
Координаты точки
e – по оси абсцисс
–
,
по оси ординат –
.
Потенциал точки a:
Значение источника
ЭДС
взято со знаком плюс, так как источник
ЭДС
направлен к точке a,
увеличивая её потенциал на величину
.
Потенциальная диаграмма контура abcdea показана на рис. 13.
Рис. 13
1.5 Баланс мощностей
Согласно закону сохранения энергии количество электрической энергии, генерируемое источником энергии Pген, должно быть равно количеству энергии, выделяемой в сопротивлениях схемы Pпотр в единицу времени:
Источники ЭДС
могут работать как в режиме генерации,
так и в режиме аккумулирования энергии.
В режиме генерации направление тока
I, текущего через
источник E, совпадает
с действием ЭДС. Таким образом, произведение
в уравнении баланса мощностей имеет
положительный знак. В режиме аккумулирования
направление тока I
встречно действию ЭДС и произведение
в уравнении баланса мощностей имеет
отрицательный знак.
Мощность, выделяющаяся
в сопротивлении R,
определяется как
и всегда имеет положительный знак.
В итоге уравнение баланса мощностей имеет вид
где p – число ветвей в схеме.
Примеры решения задач
Пример 1
Рис. 14
Дано:
E1 = 22 B,
E2 = 55 B,
r1 = r2 = 1 Ом,
R1 = 4 Ом,
R2 = 9 Ом,
R3 = 15 Ом.
Требуется:
1 Определить токи в ветвях схемы (рис. 14), используя:
– метод непосредственного применения законов Кирхгофа;
– метод контурных токов;
– метод наложения;
– метод узловых потенциалов.
2 Построить потенциальную диаграмму.
3 Составить баланс мощностей.
Решение
Составим уравнения, используя законы Кирхгофа.
По первому закону
Кирхгофа составляем столько уравнений,
сколько узлов в схеме без одного, т.е. q
– 1=1,
По второму закону Кирхгофа составляем такое количество уравнений, сколько в схеме независимых контуров, т.е. n = 2.
В первый контур входят ветви 1 и 2, а во второй 2 и 3:
При подстановке числовых значений
После решения системы получим:
I1 = 5 A; I2 = 5,2 A; I3 = – 0,2 A.
Составим исходную систему уравнений по методу контурных токов:
где
Подставим полученные значения в исходную систему уравнений:
и решим её относительно неизвестных контурных токов:
Токи в ветвях:
3 Определим токи в ветвях методом наложения. Исключим E2, оставив в схеме E1 (рис. 15).
Рис. 15
Эквивалентное сопротивление схемы
Тогда
А.
Токи в параллельно соединенных ветвях:
Теперь исключим E1, оставив E2 (рис. 16).
Рис. 16
Эквивалентное сопротивление
Ом.
Истинное значение тока в каждой ветви найдем как алгебраическую сумму токов, полученных ранее:
4 Определим токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов.
Заземлим узел 1, φ1 = 0.
Рассчитаем проводимости ветвей:
Cм;
См;
См.
Подставим значение проводимостей в выражение (21):
В.
Определим токи в ветвях по второму закону Кирхгофа:
5 Строим потенциальную диаграмму для контура a, b, c, d, e, f, a (рис. 17).
Рис. 17
Принимаем потенциал
точки a равным
нулю,
Потенциал точки b:
Потенциал точки с:
Потенциал точки d:
Потенциал точки e:
Потенциал точки f:
Потенциал точки a:
Строим потенциальную диаграмму (рис. 18).
Рис. 18
6 Составим баланс мощностей.
Мощность, генерируемая источниками ЭДС (E1 и E2 работают в генераторном режиме):
Мощность, потребляемая сопротивлениями схемы:
.
Баланс мощностей сходится, что подтверждает правильность определения токов в ветвях схемы.
Пример 2
Рис. 19
Дано:
Требуется:
1 Определить токи в ветвях схемы (рис. 19), используя:
– метод непосредственного применения законов Кирхгофа;
– метод контурных токов;
– метод наложения;
– метод узловых потенциалов.
2 Построить потенциальную диаграмму.
3 Составить баланс мощностей.
Решение
1 Составим уравнения, используя законы Кирхгофа.
Два уравнения по первому закону Кирхгофа. Ветвь между узлами 3 и 3´ не обладает электрическим сопротивлением, следовательно, узлы 3 и 3´ являются фактически одним узлом:
По второму закону Кирхгофа составим три уравнения, так как в схеме три независимых контура:
После подстановки численных значений расчетная система уравнений имеет следующий вид:
В результате решения системы получим:
2 Составим исходную систему уравнений по методу контурных токов
где собственные сопротивления контуров:
межконтурные сопротивления:
контурные ЭДС:
Подставим полученные значения в исходную систему уравнений:
Решим систему относительно неизвестных контурных токов:
Токи в ветвях схемы
3 Определим токи в ветвях методом наложения.
Удалим из схемы источник , оставив в схеме (рис. 20).
Рис. 20
Эквивалентное
сопротивление схемы относительно
источника
где 
Токи
определим, используя формулу разброса:
Токи в параллельных
ветвях с сопротивлениями
:
Теперь удалим из схемы источник , оставив в схеме (рис. 21).
Рис. 21
Эквивалентное
сопротивление схемы относительно
источника
где
Токи в ветвях схемы:
Истинные значения токов в ветвях схемы, согласно принципу наложения, определим как алгебраическую сумму соответствующих токов, полученных для схем (рис. 20, 21):
4 Составим исходную
систему уравнений по методу узловых
потенциалов в соответствии с (20). Узел
3, заземляем, т.е.
.
где собственные узловые проводимости:
Межузловые проводимости:
Узловые токи:
Подставим полученные значения коэффициентов в исходную систему уравнений:
Решим данную
систему, определив
:
Токи в ветвях схемы в соответствии с выражением (2):
5 Построим потенциальную диаграмму для контура, содержащего обе ЭДС (рис. 22).
Принимаем потенциал точки a равным нулю,
Потенциал точки b:
Потенциал точки с:
Потенциал точки d:
Рис. 22
Потенциал точки e:
Потенциал точки a:
Строим потенциальную диаграмму (рис. 23).
Рис. 23
6 Составим баланс мощностей:
Мощность, генерируемая источниками ЭДС:
Мощность, потребляемая сопротивлениями схемы:
Баланс мощностей сходится, что подтверждает правильность определения токов в ветвях схемы: