2.3 Основы символического метода расчёта электрических цепей

С усложнением конфигурации электрической цепи применение классического метода расчёта, описанного выше, становится нецелесообразным, так как приводит к громоздким и длинным вычислениям. Таким образом, для расчёта сложных схем электрических цепей переменного тока требуется метод, позволяющий рассчитывать цепи переменного тока алгебраически, аналогично расчету цепей постоянного тока. Таким методом является комплексный или символический метод расчёта, основанный на изображении векторов комплексными числами.

Известно, что координаты точки на комплексной плоскости можно задать комплексным числом. Следовательно, комплексным числом можно задать и координаты вектора, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу (рис. 39).

Из курса математики известно, что любое комплексное число можно представить в следующих формах записи:

а) алгебраическая форма ;

б) тригонометрическая форма с использованием формулы Эйлера

в) показательная форма .

Рис. 39

Для перехода от алгебраической формы комплексного числа к показательной и обратно используют следующие соотношения:

(31)

(32)

где А – модуль комплексного числа;

α – аргумент комплексного числа.

При этом следует учитывать, что:

Если вещественная часть комплексного числа отрицательна , то необходимо знак минус вынести за скобку а затем произвести преобразование в показательную форму, используя вышеприведенные формулы (32), имея в виду, что

Рассмотрим основные алгебраические операции над комплексными числами. Возьмем два числа и .

1. Сложение и вычитание производят только в алгебраической форме записи:

2. Умножение и деление предпочтительнее выполнять в показательной форме записи комплексных чисел:

3. Возведение в степень наиболее оптимально производить в показательной форме записи: .

Синусоидальные токи, напряжения и ЭДС, как было сказано ранее, можно изображать векторами, которые, в свою очередь, можно изображать комплексными числами.

Перенесем вращающийся вектор с декартовой системы координат (см. рис. 24) на комплексную плоскость (рис. 40).

Рис. 40

,

где – комплексная амплитуда тока;

– оператор вращения.

Умножение комплексной амплитуды на означает поворот вектора на угол .

Запишем комплексную величину тока в тригонометрической форме:

(33)

Из выражения (31) следует, что для перехода от комплексного числа к изображаемой им функции следует брать коэффициент при мнимой единице в этом числе.

Рассмотрим применение символического метода при последовательном соединении элементов R, L, C (см. рис. 25).

Выражение для комплекса тока

(34)

где – комплексное сопротивление цепи.

Умножив обе части равенства (34) на получим .

При параллельном соединении элементов R, L, C (рис. 27) выражение для комплекса тока имеет вид

(35)

где – комплексная проводимость цепи.

Умножив обе части равенства на получим .

Таким образом, закон Ома в комплексной форме имеет вид

. (36)

Из выражения (34) очевидно, что

(37)

поэтому, зная комплексное сопротивление, можно найти эквивалентную ему комплексную проводимость и наоборот, а именно

(38)

Первый закон Кирхгофа

(39)

где p – число ветвей, сходящихся в рассматриваемом узле.

Второй закон Кирхгофа

(40)

где m – число ветвей в рассматриваемом контуре.

Активная мощность

P = UI cos φ = I²R = U²g (41)

характеризует интенсивность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Единица измерения – ватт (Вт).

Реактивная мощность

Q = UI sin φ = I²X = U²b (42)

характеризует интенсивность колебательного обмена энергией между источником и реактивными элементами приемника электрической энергии без ее преобразования. Единицы измерения – вольт-ампер реактивный (В∙Ар).

Полная мощность

(43)

Полная мощность – это наибольшее значение активной мощности, которое может быть получено при заданных значениях напряжения и тока. Единицы измерения – вольт-ампер (В∙А).

Комплекс полной мощности

(44)

при этом – сопряженный комплекс тока.

Примеры решения задач

Пример 1

Перейти от алгебраической формы записи комплекса полного сопротивления к показательной.

Решение

1)

2)

3)

4)

Пример 2

Перейти от показательной формы записи комплекса тока к алгебраической.

Решение

Из двух последних выражений следует, что

Пример 3

Сложить и вычесть два тока

Решение

Переведем комплексы токов в алгебраическую форму записи, так как только в этой форме можно производить сложение и вычитание.

Пример 4

Умножить и разделить комплексные числа

Решение

Умножение и деление произведем в показательной форме записи:

1)

2)

3)

4)

Пример 5

Записать в комплексной форме законы изменения:

– тока

– напряжения

– ЭДС

и определить их действующие значения.

Решение

Пример 6

Записать законы изменения:

– тока

– напряжения

– ЭДС

при частоте сети

Решение

Определим угловую частоту

Амплитудные значения

тогда законы изменения тока, напряжения и ЭДС будут иметь вид

Пример 7

Сложить два тока

Решение

Запишем токи в комплексной форме:

Перейдем от комплексного числа к закону изменения тока

Пример 8

Для данной электрической цепи (рис. 41).

Рис. 41

Дано:

Определить показания приборов, указанных на схеме, закон изменения тока в цепи, закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр, построить векторную диаграмму.

Решение

1 Мгновенное и комплексное значение напряжения на входе схемы

2 Комплекс эквивалентного сопротивления схемы

3 Комплексное и мгновенное значение тока в схеме

4 Показания приборов:

амперметра

I = 30,2 A;

вольтметра

U = 120,8 B;

ваттметра

5 Закон изменения напряжения на емкости

6 Рассчитаем и построим векторную диаграмму (рис. 42):

Выполним проверку:

Рис. 42

Пример 9

Рис. 43

Дано:

Определить токи в ветвях схемы (рис. 43) и построить векторную диаграмму.

Решение

Комплекс напряжения .

Полные сопротивления ветвей схемы:

Эквивалентное сопротивление схемы

Ток в неразветвленной части цепи

Токи в ветвях схемы

Согласно первому закону Кирхгофа

Расчет векторно-топографической диаграммы напряжений:

Векторная диаграмма токов представлена на рис. 44.

Рис. 44

Векторно-топографическая диаграмма напряжений приведена на рис. 45.

Рис. 45

Пример 10

Рис. 46

Дано:

U = 100 В, R = 10 Ом,

L = 31,8 мГн, С = 318,5 мкФ,

f = 50 Гц.

Определить действующие значения тока в ветвях цепи, напряжений на ее элементах, активную, реактивную и полную мощности цепи (рис. 46).

Решение

Примем начальную фазу напряжения равной нулю,

Комплексные сопротивления индуктивной катушки и конденсатора

,

где угловая частота с^-1.

Комплекс полного сопротивления схемы

Ток в неразветвленной части цепи

Токи в ветвях схемы:

Действующие значения токов I = 14,1 A, I_R = I_C = 10 A.

Комплексные напряжения на элементах схемы:

Действующие значения напряжений U_L = 141,2 B, U_C = U_R = 100 B.

В соответствии с уравнением (44) комплексная мощность

Следовательно, полная, активная и реактивная мощности

S = 1414 BA, P = 1000 Bт, Q = 1000 BAp.

Пример 11

Определить активную, реактивную и полную мощности, сопротивление цепи, составить схему цепи, если

Решение

Полная мощность

действующее значение напряжения

действующее значение тока

Сопряженный комплекс тока

тогда

Отсюда:

активная мощность P = 321,4 Вт;

реактивная мощность Q = 383,0 ВАр;

полная мощность S = 500 ВА.

Сопротивление цепи

Схема цепи представлена на рис. 47.

Рис. 47