Катушка с магнитопроводом в цепи переменного тока

Переменный ток катушки возбуждает в магнитопроводе основной магнитный поток Ф (рис.11.3). Небольшая часть магнитных линий замыкается вне магнитопровода по воздуху, образуя потоки рассеяния Ф_s, которые удобно характеризовать одной интегральной величиной – потокосцеплением

рассеяния ψ_s. Основное магнитное сопротивление на пути потоков рассеяния создает линейная воздушная среда, поэтому считают, что ψ_s пропорционально току i:

ψ_s = L_si, где L_s – линейная индуктивность рассеяния обмотки.

 

 

Полное потокосцепление катушки

 

где w – число витков катушки.

 

Рис.11.3. Катушка с магнитопроводом: а – конструкция; б – схема замещения

Согласно закону электромагнитной индукции, изменение потокосцепления катушки индуцирует ЭДС самоиндукции:.

Из баланса напряжений для контура

 e = Ri – u, где R – активное сопротивление обмотки, находим

Суммированию напряжений соответствует последовательное соединение элементов. Поэтому следует, что катушка с магнитопроводом представляется схемой замещения в виде последовательного соединения резистора R, линейной индуктивности L_s и нелинейной идеализированной катушки с напряжением 

u₀ = –e₀ = wdФ/dt. 

Нелинейность идеализированной индуктивности обусловлена наличием ферромагнитного сердечника. У реальных катушек R и L_s делают минимальными, поэтому, как правило, падением напряжений на них можно пренебречь и считать, что  u ≈ u₀ = –e₀.

Пусть напряжение u источника: u = U_msinωt. Тогда

 u₀ ≈  U_msinωt = wdФ/dt.

Интегрируя это уравнение, получим

f(t) = –U_m/(wω)cosωt + A, где

 А – постоянная интегрирования. Можно показать, что в установившемся режиме А = 0.

Следовательно,

, 

 т. е. у реальной катушки при синусоидальном питающем напряжении магнитный поток также синусоидален и не зависит от свойств сердечника. Переходя к действующим значениям 

U₀ =E₀ = U_m/ с учетом

ω = 2πf, получим

 .

Это выражение используют при практическом анализе трансформаторов и называют трансформаторной ЭДС.

Для получения кривой тока i(t) в катушке предварительно перестроим петлю гистерезиса магнетика в вебер-амперную характеристику F(i). На рис.11.4 показан процесс построения по точкам кривой тока i(t). Пусть 1 – исходная точка на кривой f(t) при t = 0. Ей соответствует точка 1^’ на правой ветви петли гистерезиса. Точке 1^’ соответствует точка 1^’’ на оси тока. Отрицательное значение тока, определяемое точкой 1^’’, откладываем на вертикальной оси при t = 0. Задаемся моментом t = t₁ (точка 2 на f(t)) и повторяем все действия. Получим на вертикали t = t₁ точку 2^’’. Соединив точки 1^’’, 2^’’, … плавной кривой, получим график тока i(t).

 

 

Ток i(t) несинусоидален. В разложении кривой тока в ряд Фурье содержатся только нечетные гармоники. С достаточной точностью можно ограничиться учетом только первой и третьей гармоник тока.

Рис.11.4. Построение кривой тока катушка с магнитопроводом

В большинстве случаев амплитуда тре­тьей гармоники I_m(3) много меньше амплитуды первойI_m(1), что позволяет для анализа катушки применить метод эквивалентных синусоид. Суть этого метода состоит в замене несинусоидального тока эквивалентной синусоидой при соблюдении двух условий:

1) действующее значение эквивалентной синусоиды равно действующему значению несинусоидального тока, т. е.

 

2) мощность потерь после замены не должна измениться. Введение эквивалентной синусоиды тока позволяет для анализа катушки использовать комплексный метод.

Рис. 11.5. Катушка с магнитопрово­дом: а – схема замещения; б – век­торная диаграмма; в – динамичес­кая и статическая петли гистерези­са сердечника

Из рис.11.5,б следует, что ток опережает по фазе поток на небольшой угол δ (угол потерь) и отстает по фазе от напряжения U₀ на угол (90° – δ). Это означает, что входное сопротивление идеализированной катушки имеет активно-индуктивный характер. Полная схема замещения катушки представлена на рис.11.5, а.

Сопротивление R₀ обусловлено тепловыми потерями в сердечнике из-за гистерезиса, а индуктивность L₀ создает основной магнитный поток Ф. При анализе катушки с ферромагнитным сердечником необходимо учитывать возникновение вихревых токов в сердечнике, которые вызывают дополнительные тепловые поте   ри. Для их снижения сердечник собирают из тонких пластин (на частоте 50 Гц толщина пластин 0,35¸0,5 мм). Сопротивление R₀ учитывает потери из-за гистерезиса и вихревых токов. Для реальных катушек характерны соотношения R₀ >> R; L₀ >> L_s. Векторная диаграмма катушки показана на рис.11.5, б.

На рис.11.5, в внутренняя петля гистерезиса – статическая петля. При наличии вихревых токов в магнитопроводе петля расширяется, и ее называют динамической. Можно показать, что суммарная мощность потерь в магнитопроводе пропорциональна площади петли гистерезиса.