Рубежный контроль 1 (контроль по модулю №1)
1.
Сформулировать теорему Дирихле. Разложите
в тригонометрический ряд Фурье по
косинусам на отрезке
функцию:
Постройте график суммы ряда Фурье.
2.
Вычислить
;
результат изобразить на плоскости
комплексного переменного.
3.
Представьте в алгебраической форме
значение
в точке
.
4.
Установите, может ли функция
служить действительной частью некоторой
аналитической функции и, если может,
восстановите эту аналитическую функцию
в виде
.
Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана Домашнее задание № 2
Задача 1
Определить
круг сходимости заданного степенного
ряда. Сходится ли ряд в заданной точке
;
;
?
Если сходится, то как - абсолютно или
условно? Сделать рисунок.
,
;
;
.
Задача 2
Найти
все разложения заданной функции по
степеням заданной разности
.
Указать область пригодности каждого
из разложений.
Разложить
по степеням
.
Рубежный контроль 2 (контроль по модулю №2)
1. Производная функции комплексного переменного. Вывести необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного.
2. Найти
круг сходимости степенного ряда и
исследовать поведение ряда в четырёх
точках границы этого круга: самой
верхней, самой нижней, самой левой, самой
правой:
.
3.
Вычислить с помощью интегральной формулы
Коши или её следствия (формулы n-ой
производной) интеграл
.
4. Найти
все разложения функции
по степеням
.
Указать область пригодности (сходимости)
каждого из разложений.
Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление Домашнее задание № 3
Часть 1
Задача 1
Найти
все особые точки заданной функции
;
определить их характер и найти вычеты
в них. Установить, чем является для
данной функции бесконечно удалённая
точка и найти вычеты в ней.
Задача 2
Вычислить
интеграл
при помощи теории вычетов, по контуру
:
.
Часть 2
Задача 1
Пользуясь
теоремами интегрирования изображения
и интегрирования оригинала, найти
изображения заданных функций; найденный
результат проверить для первой из
заданных функций по первой теореме
разложения, развёртывая в ряды как
оригинал, так и полученное изображение:
,
.
Задача 2
Пользуясь
теоремой свёртывания, найти оригинал
первой из заданных функций, для отыскивания
оригиналов в остальных использовать
полученный результат, либо теорему
дифференцирования, либо теорему
интегрирования оригинала. Ответ к
последнему из заданных примеров
проверить, либо находя по полученному
оригиналу его изображение, либо находя
сам оригинал иным способом – по 2-й или
по обобщённой (3-й) теоремам разложения:
,
,
.
Задача 3
При помощи обобщённой (третьей) теоремы разложения найти оригиналы заданных функций; ответ проверить, пользуясь второй теоремой разложения:
.
Задача 4
Найти изображения заданных ниже при помощи чертежа периодической функции (на чертеже изображён первый период и пунктиром намечено начало второго) В данном примере использованы параболы 2-го порядка с вертикальной осью.
