Рубежный контроль №3 (контроль по модулю №3)
1. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Доказать теорему о существовании изображения.
2.
Вычислить интеграл от функции комплексного
переменного, классифицировав все особые
точки функции, включая бесконечно
удаленную точку
.
3.
Найти изображение по заданному оригиналу
и оригинал по заданному изображению
.
4.
Решить дифференциальное уравнение при
заданных начальных условиях, проверить
полученное решение:
.
Вопросы для подготовки к рубежным контролям и экзамену
Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного
Ортогональные системы функций на отрезке
(в
частности на
и
.
Примеры ортогональных систем.Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Эйлера-Фурье.
Формулировка теоремы Дирихле.
Тригонометрический ряд Фурье для четной и нечетной функции.
Разложение в ряд Фурье по синусам или косинусам функций заданных на
.
График суммы ряда Фурье в этих случаях.Алгебраическая форма записи комплексного числа (к.ч.). Действия над к.ч. в алгебраической форме.
Геометрическое представление к.ч. Плоскость к.ч. Модуль и аргумент к.ч.
Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия над к.ч. в тригонометрической форме. Формулы Муавра для возведения к.ч. в целую положительную степень и для извлечения корня целой положительной степени из к.ч.
Комплексные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Исследование рядов на сходимость.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости.
Функция комплексного переменного (к.п.). Геометрическая интерпретация. Действительная и мнимая части функции к.п.
Предел функции к.п. в точке, непрерывность функции к.п., производная функции к.п. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Аналитические функции.
Основные элементарные функции к.п., выделение их действительных и мнимых частей; аналитичность этих функций. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Вычисление значений элементарных функций.
Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.
Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана
Последовательности комплексных чисел.
Производная функции комплексного переменного. Необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного.
Интеграл от функции комплексного переменного (определение, свойства, вычисление). Связь его с криволинейными интегралами от функций действительных переменных. Вычисление
при различных
.Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области.
Независимость интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегральная формула Коши (с выводом). Формула n-ой производной от аналитической функции.
Теоремы о разложении функции в ряд Тейлора и ряд Лорана. Стандартные разложения основных элементарных функций.
Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням.
Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление
Правильные и особые точки функции комплексного переменного. Классификация изолированных особых точек. Связь типа особой точки с видом лорановского разложения функции в окрестности этой точки. Теорема Сохоцкого.
Вычет функции в изолированной особой точке (конечной). Теорема о вычете (с выводом). Вычет функции в устранимой (конечной) особой точке. Формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка, в полюсе n-го порядка.
Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о вычете функции в бесконечно удаленной точке (с доказательством).
Теорема Коши о вычетах (с доказательством). Теорема о сумме вычетов (с доказательством).
Применение вычетов для вычисления контурных интегралов.
Оригинал. Единичная функция Хевисайда.
Изображение (по Лапласу). Нахождение изображений для единичной функции Хевисайда, для показательной функции.
Теорема о существовании изображения (с доказательством абсолютной сходимости интеграла Лапласа). Поведение изображения в бесконечно удаленной точке.
Основные свойства изображения: линейности, подобия, смещения (с выводом).
Запаздывающая единичная функция Хевисайда. Запаздывающие оригиналы. Изображение запаздывающего оригинала. Изображение периодического оригинала.
Основные теоремы операционного исчисления (с доказательством): о дифференцировании оригинала и изображения, об интегрировании оригинала и изображения.
Свертка оригиналов и ее свойства. Теорема о свертке оригиналов. Формула Дюамеля.
Таблица оригиналов и изображений.
Нахождение оригинала по изображению. Формула обращения. Основные теоремы разложения.
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений операционным методом.