ConspectiLekziiMexanika2013-2

где А - амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Решение (113) проверим подстановкой, для этого подставим его в уравнение (111):

Выражение в скобках (113) называют фазой колебания. Она определяет смещение в данный момент времени t; - начальная фаза. Она характеризует смещение в момент времени t = 0 и определяется начальными условиями, как и амплитуда А.

- называется собственной круговой частотой. Она равна числу полных колебаний за секунд.

Из (112) и (114) следует, что период колебания

и не зависит от амплитуды колебаний А.

92

Скорость и ускорение при гармоническом колебании

Зависимость смещения от времени при гармоническом колебании определяется как:

Пусть , тогда зависимость смещения от времени может быть представлена как:

Графически эту зависимость можно представить так, как это показано на рисунке 48 (верхняя часть).

Рисунок 48.

93

Зависимость скорости от времени выглядит как:

(116)

Значения скорости отличается по фазе от значений смещения на (рисунок 48).

Максимальное значение скорости будет равно .

Ускорение определяется соотношением:

(117)

и пропорционально A и , а по направлению совпадает с направлением силы .

По фазе ускорение отличается от скорости на , а от смещения

– на . Максимальное ускорение равно .

94

Энергия гармонического колебания

Как мы показали ранее, потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

,

где k - коэффициент упругости, х – смещение

;

откуда для потенциальной энергии колебаний находим

Кинетическая энергия

в нашем случае

Откуда, с учетом того, что :

(119)

Анализ (118) и (119) показывает, что когда одна из энергий или увеличивается, то другая уменьшается.

95

Полная же энергия, полученная сложением и равна

.(120)

96

Векторная диаграмма гармонического колебания

Гармоническое колебание

можно представить в виде проекции вектора на направление ОХ, вращающегося против хода часовой стрелки с угловой скоростью, равной круговой частоте .

Проекция вектора на направление ОХ будет определяться как (рисунок 49):

.

Рисунок 49.

97

Сложение одинаково направленных колебаний

Сложим два гармонических колебаний одинаковой частоты:

,

.

Используем векторную диаграмму;

Рисунок 50.

откуда следует, что

,

где

98

. (121)

. (122)

99

Амплитуда и начальная фаза колебаний

Зная параметры, характеризующие гармонические колебания, можно определить амплитуду А и начальную фазу колебаний θ.

И так мы знаем величину смещения и скорость

,

,

тогда в момент времени t = 0

или

.

Возведем в квадрат эти соотношения и сложим их

откуда

(123).

Начальную фазу колебаний θ определим следующим образом:

(124).

100