ConspectiLekziiMexanika2013-2

Работа, мощность

Элементарной работой dA силы на малом перемещении точки М приложения силы называется скалярное произведение

:

(63)

или

где - путь точки М за малое время dt,

- угол между вектором силы и элементарным перемещением .

- проекция силы на направление (или ).

Работа А12, совершаемая силой на конечном перемещении

точки ее приложения М из положения 1 в положение 2, равна сумме элементарных работ на всех участках траектории движения

точки М от 1 до 2.

Рисунок 26.

51

численно равная площади заштрихованной площадки.

Работа А12 будет численно равна площади криволинейной трапеции S112S2.

Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж), т.е. 1 Дж = 1 Н 1 м.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью:

(66)

и определяется скалярным произведением векторов Единицей мощности в СИ является ватт (Вт). 1 Вт = 1 Дж/1с.

Лошадиная сила 1 (л. с.) равна 736 Вт = 75 кг м.

52

Консервативные и неконсервативные силы

Все силы, встречающиеся в механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Сила, действующая на материальную точку, называется консервативной (потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного положений материальной точки (рисунок 27):

.

Рисунок 27.

Изменение направления движения точки на противоположное вызывает изменение знака элементарной работы

,

следовательно,

.

Поэтому работа консервативной силы вдоль замкнутой траектории 1a2b1 равна нулю:

53

Рисунок 28.

Таким образом, работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю (рисунок 28):

Следует отметить, что силы тяготения и упругости являются консервативными, а силы трения неконсервативными.

54

Потенциальная энергия

Если на материальную точку действует консервативная сила, то

можно ввести скалярную функцию координат точки , называемую потенциальной энергией. Потенциальную энергию определим следующим образом

где С - произвольная постоянная, а - работа консервативной силы при перемещении материальной точки из положения в фиксированное положение .

Рисунок 29.

Определим разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (см. рисунок 29) и воспользуемся тем, что

55

Правая часть, полученного соотношения, дает работу, совершаемую на пути из точки 1 в точку 2, проходящем через точку О.

Вследствие независимости работы от формы пути такая же работа А совершается на любом другом пути, т.е.

Следовательно, работа консервативных сил равна разности значений функции Wn в начальной и конечной точках пути, т.е.

убыли потенциальной энергии.

Примеры

Потенциальная энергия растянутой пружины

При возвращении пружины из деформированного состояния в недеформированное сила сжатой пружины совершает работу.

(70)

или

56

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли

Потенциальная энергия тела массы m, находящегося в поле гравитации Земли, масса которой М,

(72)

Изменение потенциальной энергии тела массы m, поднятого с поверхности Земли (r = R, где R - радиус Земли) на высоту h (r = R + h), согласно (72), равно:

(73)

если h<<R, то формула (73) перейдет в известную формулу

или

если потенциальную энергию на поверхности Земли принять равной нулю, где

- ускорение силы тяжести на поверхности Земли (рисунок 30).

57

Кинетическая энергия

Рисунок 31.

Уравнение движения материальной точки массы m, движущейся под действием силы есть:

.

Умножим скалярно правую и левую часть равенства на перемещение точки , получим

Так как скалярное произведение векторов ,

получаем:

.

Преобразуем, соотношение (75) [с учетом сокращения левой части уравнения на dt ], к виду:

.

Проинтегрируем части равенства вдоль траектории движения:

59

.

Согласно определению работы переменной силы, получим соотношение:

.

Величина

(76)

называется кинетической энергией материальной точки.

Из соотношения (77) следует, что работа результирующей всех сил, действующих на материальную точку, расходуется на приращение кинетической энергии этой частицы.

Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить:

.

60