ConspectiLekziiMexanika2013-2

Если мы выбираем прямоугольную систему координат с началом, совпадающим с точкой О, то имеем:

(92)

Если система замкнута (т. е. внешних сил нет), то и, согласно уравнению (91)

вектор не изменяется со временем, т.е. .

Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

71

Уравнения движения и равновесия твердого тела

Уравнение поступательного движения центра масс С

Если твердое тело покоится, то уравнения (93) и (94) переходят, соответственно, в уравнения:

Это и есть необходимые условия равновесия твердого тела.

72

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рисунок 37.

Мерой перемещения тела за малый промежуток времени dt

полагают вектор элементарного поворота тела (рисунок 37).

Определим вектор угловой скорости как:

73

Момент инерции. II-закон Ньютона для вращательного движения

Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, имеет вид

Рисунок 38.

Определим момент импульса тела относительно точки на оси ОZ, полагая , где - центр

окружности, по которой движется i-я материальная точка твердого тела.

Тогда

.

74

Результирующее произведение в первом слагаемом перпендикулярно оси ОZ, и не дает вклада в момент импульса относительно оси ОZ.

Результирующее произведение от второго слагаемого параллельно оси ОZ, и с учетом того, что

,

получаем:

.

Таким образом

или

где величина

(99)

называется моментом инерции тела относительно оси ОZ.

Тогда, с учетом того, что

75

уравнение динамики тела, вращающегося относительно неподвижной оси ОZ

[II закон Ньютона для вращательного движения],

можно записать в виде

или

76

Момент инерции тел правильной геометрической формы

В механике твердое тело рассматривают как механическую

систему, масса т которой непрерывно распределена по объему V тела.

При вычислении момента инерции тела, суммирование

переходит в интегрирование

где - плотность тела, - масса малого элемента объема dV, отстоящего от оси вращения тела на расстоянии .

Рассчитаем момент инерции однородного цилиндра,

вращающегося вокруг оси ОО’.

Рисунок 39.

77

Разделим цилиндр высоты h и радиуса R на концентрические слои

толщиной dr. Если плотность , то масса dm , в слое dr; будет равна:

;

т.к. ,

то .

И тогда

,

где m - масса цилиндра.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

J= (1/12)mL2 (тонкий стержень, длиной L)

J= (1/4)mR2 (тонкий диск)

J= (1/4)mR2 (сфера радиуса R)

78

Теорема Штейнера

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной оси Z; d - расстояние между осями.

79

Свободные оси, главные оси инерции

Закон сохранения моментов импульса

работает лишь при определенных условиях, а именно при вращении тела вокруг одной из свободных осей вращения.

Рассмотрим пример вращения тела представленного на рисунке 40.

Рисунок 40

Возникает момент силы, величину которого можно определить как:

Ось вращения, положение которой в пространстве не меняется при вращении тела вокруг нее в отсутствии внешних сил , называется свободной осью вращения тела.

80