ConspectiLekziiMexanika2013-2

Свободные затухающие колебания

Кроме силы упругости

на колеблющееся тело действуют также сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости, т.е.

,

где r - коэффициент сопротивления, с размерностью [r] = кг/с.

С учетом сказанного, уравнение движения тела будет иметь вид

,

или, разделив на массу правую и левую части уравнения, имеем :

где - коэффициент затухания; .

– собственная частота колебания системы в отсутствии сопротивления среды (r = 0).

111

Рисунок 58.

При решение будем искать в виде

Продифференцировав х по t (135) найдем:

Подставим все это в уравнение (134) и, преобразовав, получим

Это выражение равно нулю при любых значениях t если равны нулю коэффициенты при cos и sin.

(136)

(137)

Уравнение (137) можно преобразовать к виду:

,

интегрирование которого дает

112

,

где – постоянная интегрирования.

Потенцированием получим

Отсюда находим:

,

а

.

Подстановка этих значений в (136) приводит к соотношению

откуда легко получить

,

и

.

В результате получим решение уравнения (134) в виде

113

Логарифмический декремент затухания

Натуральный логарифм отношения отклонения системы в

моменты времени и называется логарифмическим декрементом затухания:

Величина, обратная , показывает число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в

е = 2,7182 раз.

Величина

называется добротностью колебательной системы.

114

Вынужденные колебания

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы)

,

где - круговая частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:

.

Перепишем это уравнение в виде:

. (140)

Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решением такого уравнения будет

,

где - общее решение однородного уравнения.

Согласно ранее определенному:

и с течением времени .

Решением (140) (без вывода) будет:

,

115

где

Из анализа (141) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы

, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Исследуя (141) на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте

(143)

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины:

Рисунок 59.

Это явление называется резонансом (рисунок 59).

116

На рисунке 59 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы; откуда: при = 0 находим

.

117

Волны

Упругие среды. Продольные и поперечные волны

Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будут распространяться в среде со скоростью .

Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими или механическими волнами.

Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных

волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В поперечных волнах частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольные волны могут возбуждаться в твердых, жидких и газообразных средах.

Поперечные волны могут возникать только в твердых телах.

118

Поперечные волны

Рисунок 60.

Продольные волны

Рисунок 61.

Отметим, что распространение упругих волн не связано с

переносом вещества. Бегущие волны переносят энергию колебательного движения в направлении распространения волны.

119

Уравнение гармонической бегущей волны

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Рисунок 62.

Гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со

скоростью вдоль оси x для фиксированного момента времени t.

(рис. 62)

Расстояние между ближайшими частицами на оси 0 - х колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны .

Длина волны равна расстоянию, на которое распространится волна за время, равное периоду колебаний Т.

Частота ,

тогда

(146).

120