3.5.4. Методика составления уравнений динамики элементов сау

При составлении уравнений поступают следующим образом.

1. Устанавливаются физические законы, лежащие в основе работы элементов системы. Это могут быть закон сохранения энергии, массы, импульса и др.

2. Математическое выражение соответствующего закона является исходным дифференциальным уравнением динамики рассматриваемого элемента.

3. Записываются уравнения статики или невозмущенного движения элемента, что соответствует установившемуся режиму работы элемента, который характеризуется определенными начальными значениями входного и выходного параметра.

4. Производится вычитание из уравнения динамики уравнений статики. Получается уравнение динамики в приращениях.

При составлении уравнений часто используется форма записи дифференциальных уравнений в относительных единицах (после вычитания - после процедуры по пункту 4 из приведенного выше перечня процедур). Для получения такой формы записи необходимо разделить все члены дифференциального уравнения на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения. В качестве такой постоянной величины принимают либо минимальное, либо номинальное, либо максимальное значение этой величины.

Пример.

Составить уравнение динамики электрического двигателя (очень часто является одним из исполнительных элементов САУ) в абсолютных и относительных единицах.

Из общих законов механики - из теоремы о моменте количества движения – имеем:

, (3.30)

где - момент количества движения;

- главный момент внешних сил.

Приведенному уравнению соответствует уравнение:

, (3.31)

где I – момент инерции;

- угловая скорость вала двигателя;

- движущий момент и момент сопротивления.

При этом:

- движущий момент

(3.32)

является функцией угловой скорости и положения регулирующего скорость вращения органа – элемента ;

- момент сопротивления

(3.33)

есть функция от угловой скорости и постоянной составляющей момента.

В равновесном (в статическом) режиме имеем

, (3.34)

откуда

. (3.35)

Уравнение (3.31) – нелинейное. Линеаризуем его. Для этого в (3.31) функции

и заменяем разложением в ряд Тейлора в окрестности значений аргумента и по степеням малых отклонений , а полные переменные представим как сумму из номинальных значений и приращений:

.

В результате имеем:

(3.36)

Пренебрегая членами, содержащими малые отклонения в степени, выше первой, а также произведениями малых отклонений (эти члены являются бесконечно малыми второго и более высоких порядков) и принимая во внимание (3.34) и (3.35) последнее уравнение после введения обозначений

можно записать в виде

.

Обычно

.

Отсюда .

Тогда, введя дополнительное обозначение , уравнение электродвигателя для малых отклонений можно записать в следующем виде:

(3.37)

Получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Опуская знак приращения, после элементарных преобразований приходим к уравнению:

,

что представляет собой уравнение апериодического звена, весьма часто встречающегося в системах управления.