4.2. Определение динамических характеристик элементов систем по временным характеристикам

Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближенно характеристики реальных объектов.

Независимо от назначения объектов, физических принципов действия и т.д. можно выделить ряд типовых звеньев, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями первого или второго порядков:

- простейшие (пропорциональные, интегрирующие и дифференцирующие);

- звенья первого порядка (инерционные, инерционно-дифференцирующие, форсирующие и инерционно-форсирующие);

- колебательные звенья второго порядка.

Введение типовых звеньев удобно для представления сложного звена с передаточной функцией

(4.1)

параллельным или последовательным соединением типовых звеньев.

Передаточные функции типовых звеньев представляют собой рациональную дробь вида (4.1), причем нули и полюса функции , соответствующие уравнениям

, (4.2)

лежат в левой полуплоскости s или на ее границе, совпадающей с мнимой осью.

Зависимость изменения выходных координат от изменения входных может быть описана математической моделью [3], в которые входят:

- уравнения статики;

- уравнения динамики.

4.2.1. Определение статических характеристик

Уравнения статики описывают установившееся состояние координат объекта, когда

(4.3)

Уравнения статики представляют собой алгебраические зависимости.

Статической характеристикой объекта называется зависимость

или

между входной и выходной координатами на отрезке времени, когда все производные входа и выхода равны нулю: .

Н а практике чаще всего определяют статические характеристики отдельно каждой координаты выхода от каждой отдельной входной координаты при постоянных значениях остальных входных вида .

Схема снятия характеристики представлена на рисунке 4.1.

Д ля экспериментального определения статических зависимостей применяют активный и пассивный методы исследования.

Активный метод

Метод включает несколько этапов.

1. Испытатель выбирает одну их входных координат j объекта (если их несколько) и устанавливает минимально возможное по технологическому регламенту значение этой координаты.

(Все остальные входные координаты при этом поддерживаются постоянными).

Этому значению дается обозначение . После окончания переходных процессов в объекте регистрируется установившееся значение выходной координаты , которому присваивается номер .

2. Затем экспериментатор дает приращение входной координате , получает новое ее значение , регистрирует .

3. Снова изменяет на и т.д.

В результате серии опытов получают таблицу соответствий

где n - число различных уровней входной координаты .

4. По данным таблицы строится график, который аппроксимируется кусочно-линейной зависимостью.

5. Задаются статической характеристикой в виде линейной зависимости

. (4.4)

При существующем разбросе значений коэффициенты

определяют из системы линейных уравнений (метод наименьших квадратов):

(4.5)

Активный метод исследования применяют в тех случаях, когда уровень помех и флуктуаций входных и выходных координат невысок [3].

Пример.

Пусть получен массив данных в виде следующей таблицы соответствий из трех столбцов

xj	xj(1)	xj(2)	xj(3)
yj	yj(1)	yj(2)	yj(3)

Пусть j=1, а конкретные значения в таблице следующие

x1	1	2	5
y1	1	3	5

Допустим, что статическая характеристика аппроксимируется линейной зависимостью (4.4).

Тогда, применив эту зависимость к каждому столбцу таблицы, получим систему из трех уравнений

(4.6)

Просуммируем левые и правые части уравнений и получим (первое уравнение из (4.5))

.

Перемножим левую и правую часть каждого уравнения i на значения соответствующей переменной и получим:

(4.7)

Просуммируем левые и правые части уравнений полученной системы и получим (второе уравнение из (4.5))

Перепишем полученную систему уравнений

и з которой находим коэффициенты статической характеристики .

На рисунке 4.2 для сравнения представлены зависимости

:

исходная и полученная по аппроксимирующему выражению при определенных приведенным способом коэффициентах аппроксимации.

Пассивный метод.

Пассивный метод исследования статических зависимостей сводится к следующему.

1. Производится регистрация случайных изменений входных координат x₁(t), x₂(t),…, x_n(t), имеющих место в режиме нормальной эксплуатации объекта, и соответствующих им флуктуаций выходной координаты y₁(t).

2. Случайные процессы x₁(t), x₂(t),…, x_n(t), y₁(t) квантуются во времени и составляется таблица их значений

x₁(i), x₂(i),…, x_n(i), y₁(i); i=1, 2, …, n.

Примерный вид такой таблицы приведен в таблице 4.1.

Таблица 4.1. К определению статических характеристик

x1(i)	x2(i)	…	y1(i)
x1(1)	x2(1)	…	y1(1)
x1(2)	x2(2)	…	y1(2)
…	…	…	…
x1(n)	x2(n)	…	y1(n)

3. Составляется линейная статическая зависимость

4. Коэффициенты определяют из системы линейных алгебраических уравнений (метод наименьших квадратов):

Заметим, что по рассматриваемому методу для составления таблицы необязательна постановка специальных опытов, часто можно использовать показания функционирования приборов.

Уравнения динамики однозначно характеризуют поведение во времени при изменении и представляют собой дифференциальные или интегральные соотношения.

Изложенное в этом подразделе материал иллюстрирует методический подход к определению характеристик объектов.

В настоящее время существует множество прикладных программ (в том числе в составе EXCEL) для аппроксимации зависимостей в виде полиномов различного порядка – первого (дают линейные зависимости), второго и т.д.