4.3. Формы описания динамических свойств объектов
Динамические свойства объектов в общем случае можно описать математическими выражениями следующего вида:
1) дифференциальными уравнениями
,
где
,
…,
,
,
…,
- постоянные коэффициенты, m
≤ n;
- постоянная
положительная величина, называемая
временем запаздывания;
- входная величина;
- выходная величина,
2) передаточной функцией
,
где
- комплексная переменная;
- вещественная переменная;
- угловая частота;
- мнимая единица;
- преобразования
Лапласа;
3) амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ)
,
где
,
- преобразования Фурье переменных
и
;
,
- аналитические выражения вещественных
и мнимых частей комплексной функции
;
,
- амплитудно-частотная и фазо-частотная
характеристики - АЧХ и ФЧХ:
- модули (спектры)
преобразований Фурье
,
.
Между перечисленными динамическими характеристиками существует однозначная связь.
В
заимосвязь
между различного рода динамическими
характеристиками изображена на рисунке
4.10,
там же указаны способы определения
уравнений динамики
4.4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников
Итак, подошли к реализации передаточных функций объектов, проделав последовательность
Эксперимент передаточная функция последовательное соединение различных динамических звеньев.
При синтезе объектов с требуемыми динамическими характеристиками возникает задача реализации их передаточных функций пассивными или активными четырехполюсниками постоянного тока.
Последние содержат пассивные двухполюсники.
Пассивные двухполюсники и четырехполюсники постоянного тока – это электрические цепи из резисторов (активных сопротивлений), конденсаторов и индуктивностей.
Рассмотрим некоторые методы определения [11] электрических схем и параметров двухполюсников и четырехполюсников, состоящих из резисторов и конденсаторов, по передаточным функциям, которые они должны иметь.
Л
юбая
передаточная функция может быть
реализована пассивным двухполюсником
или четырехполюсником из резисторов и
конденсаторов с точностью до постоянного
множителя.
4.3.1. Разложение передаточной функции активного четырехполюсника
Схема активного четырехполюсника представлена на рисунке 4.11.
Такие четырехполюсники состоят из электронных усилителей и цепей из резисторов, конденсаторов и индуктивностей.
В общем
случае четырехполюсник содержит входную
цепь с импедансом
и цепь с импедансом
,
которая охватывает усилитель с
отрицательной обратной связью.
Обычно используют операционный усилитель с весьма большим передаточным коэффициентом. Тогда передаточная функция четырехполюсника определяется выражением
.
(4.18)
Для синтеза
двухполюсника активного четырехполюсника
передаточную функцию
,
которую он должен иметь, нужно представить
в соответствии с выражением (4.18)
в виде отношения
,
где
- операторные выражения полного
сопротивления двухполюсника прямой о
обратной цепи соответственно.
Полное
сопротивление
может быть реализовано в виде
RC–двухполюсника
только если оно удовлетворяет следующим
условиям:
а) функция - рациональная дробь, у которой степень числителя равна или на единицу меньше степени знаменателя;
б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни полинома числителя) функция - простые, действительные, отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя соседними полюсами находится нуль и наоборот;
в) наименьшим по абсолютному значению является полюс, он может равняться нулю;
г) наибольшим по
абсолютному значению является нуль;
он конечен, если степень числителя
функции
равна степени знаменателя.
В ряде
случаев реализуемые значения
удается составить по формулам
,
где
- полиномы соответственно числителя и
знаменателя функции
.
Полином
выбирают так, чтобы
удовлетворяли условиям реализуемости,
он может содержать, в частности, двучлены
из полиномов
.