3.6. Математические модели системы управления. Понятие об оптимальном управлении

Реальные физические процессы, да и не только физические (экономические, социальные, медицинские и т.д.) являются управляемыми.

Т иповая схема, отражающая информационное взаимодействие ее составляющих, может быть изображена следующей схемой (рис. 3.17).

Дадим характеристики основных элементов постановки задачи оптимальной динамической системы.

1. Модель управляемого объекта описывается с помощью, например, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и т.д.

Состояние модели может задаваться, например, вектором, объединяющим характерные изменяющиеся параметры объекта или функцией, описывающей поведение модели в пространстве и времени

2. Краевые (начальные и конечные) условия могут описываться множествами возможных значений.

3. Внешние воздействия. Как правило, описываются статистическими характеристиками или множеством возможных значений.

4. Интервал времени функционирования может быть задан конечным или полубесконечным , случайным, подлежащим наилучшему выбору и т.д.

5. Ограничения на состояние и управление. Они обычно задаются с помощью описания множества их допустимых значений.

6. Модель измерительной системы описывается функциями или операторами состояния. Входом модели является состояние, выходом – значения измерений.

7. Погрешности измерений описываются статистическими характеристиками или множествами возможных значений.

8. Алгоритм управления (определение характера использования информации об изменениях, способа выработки и приложения управляющих воздействий). Алгоритм управления вырабатывает управляющее воздействие по получаемой информации об измерениях. Таким образом, при построении систем управления предполагается принцип обратной связи.

9. Цель управления.

Она сводится к проблеме поиска наилучшего по некоторому критерию управления, называемого оптимальным.

Например, достижение поставленной цели за наименьшее время с минимальными энергетическими затратами с наилучшей точностью.

Математически описывается некоторым критерием качества и отражает требования, предъявляемые проектировщиком к системе (оптимальной, т.е. наилучшей с точки зрения выбранного критерия).

Схема, изображенная на рисунке, отражает процесс управления объектом при неполной информации, т.к. управление строится на основе информации об изменениях при наличии погрешностей.

В общем случае управляющее воздействие формируется на основе всей накапливаемой информации об изменениях.

Частным случаем таких систем являются системы без накопления информации, где при выработке управляющего воздействия используются только текущие (мгновенные) значения измерений, а информация о предыдущих измерениях не учитывается.

Наиболее простым является случай, когда информация о векторе состояния отсутствует. При этом система управления будет разомкнутой и ищется так называемое программное управление.

4. Экспериментальное определение динамических характеристик объектов моделирования

4.1. Понятие о динамических характеристиках объектов

Все системы автоматического управления являются динамическими, т.е. развивающимися или проявляющими те или иные свойства с течением времени.

Естественно, что поведение во времени представляет интерес, как при решении задач анализа, так и при решении задач синтеза.

В частности, возможность занятия желаемого положения или возможность нахождения в требуемом состоянии заданное время составляют предмет теории устойчивости.

Еще более важно знать каким образом САУ переходит из одного состояния (положения) в другое. Например, сколь быстро это происходит? Или, например, насколько много отклоняется управляемая величина от заданного в процессе управления значения. Процесс перехода из одного состояния в другое принято называть переходным процессом.

Хотя на практике большинство САУ функционирует фактически в непрерывном переходном процессе, принято идеализировать соответствующую картину поведения системы во времени. Идеализация заключается в разбиении динамики на сам переходный процесс и на поведение САУ в так называемом установившемся режиме.

Процесс перехода системы из одного состояния в другое называется переходным процессом.

Характеристики, которыми обладают САУ в переходном процессе, принято называть динамическими.

В случае наличия установившегося режима важное значение приобретает проблема исследования точности воспроизведения заданного программного значения управляемых величин.

Среди динамических характеристик особенно важны временные.

Данные характеристики (параметры) элементов САУ можно определить на основании экспериментально полученных переходных и частотных характеристик.