Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Choliy.NumericaMethods.2011Dec01

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

913 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Вiзьмемо за полiном Pn(x) полiном Лежандра, означення та властивостi якого конспективно приведенi нижче:

				1	dn
			Pn(x) =			(x2 − 1)n ,		n = 0, 1, 2, . . . .
			Pn(x) =	2nn!	dxn	(x2 − 1)n ,		n = 0, 1, 2, . . . .
Властивостi
	Pn(1) = 1, Pn(−1) = (−1)n
	1		Pn(x)Qk(x)dx = 0,		k < n, Qk(x)		−	довiльний iнший полiном .
		1					−
	−
	−
	R

всi коренi дiйснi i лежать у iнтервалi [−1, 1]

Утакому випадку, у рiвняннi (12.3) iнтеграл злiва завжди рiвен нулю:

Aitki Pn(ti) = 0.

i=1

З такого спiввiдношення не вдасться знайти коефiцiєнти, але легко знайти положення вузлiв, для чого досить взяти суму в коренях полiнома Pn(t). Знайденi таким способом положення вузлiв пiдставимо у (12.2) i знайдемо коефiцiєнти. Система (12.2) за вiдомих координат вузлiв лiнiйна по коефiцiєнтах.

Екстраполяцiйна формула Рiчардсона. Нехай деяка квадратурна формула має остаточний член R hm, тобто, R = Mhm, що для двох рiзних крокiв h1 та h2 дає два спiввiдношення:

R(h	)	=	Mhm = M		b − a	m = I	−	I
1			1		n1	m	−		1
2			2	n2			−		2
R(h	)	=	Mhm = M		b − a	= I		I		,
R(h	)	=	Mhm = M			= I		I		,

де I - справжне значення iнтегралу, I1 та I2 - отриманi цiєю формулою iнтеграли при рiзних значеннях кроку. Якщо цi два рiвняння розв’язати сумiсно, то

M =		−	I2 − I1		− n1m	,
		−		n2m	− n1m
	(b		a)m	1	1
	(b		a)m

а точне значення iнтегралу:

I = I

+ M

b − a

m = I

+ M

b − a

m .

111

Знаходження невласних iнтегралiв. Це iнтеграли, в яких iнтервал [a, b] - нескiнчений, або функцiя f(x) має на iнтервалi розрив. В загальному випадку їх знаходять, розбивши на два

∞	b	∞
I(a, ∞) = Z	f(x)dx = Z	f(x)dx + Z	f(x)dx,
a	a	b

вибравши значення b так, щоб

∞

f(x)dx < ε,

де ε - задана точнiсть. Оскiльки b наперед невiдоме, то шукають послiдовнiсть iнтегралiв I(a, b), збiльшуючи b, поки I(a, b) не перестане змiнюватись у межах точностi ε.

До цiєї задачi можна пiдiйти трохи по-iншому. Перепишемо iнтеграл

∞∞

f(x)dx =	p(x)fˆ(x)dx,
0	0

де p(x) - деякий множник, а fˆ(x) = f(x)/p(x). (Замiною змiнних нижню межу a завжди можна перевести в нуль). Введемо також апроксимуючий полiном P (x), для fˆ(x):

∞	∞	∞	∞
Z0	f(x)dx = Z0	p(x)fˆ(x)dx = Z0	p(x)P (x)dx + Z0	p(x)(fˆ(x) − P (x))dx.

При правильному пiдборi P (x) другим iнтегралом можна знехтувати i тодi:

∞∞

f(x)dx =	p(x)P (x)dx.
0	0

Нариклад, для f(x) = exp (−x)ϕ(x), p(x) = exp (−x), fˆ(x) = ϕ(x) i

∞∞

f(x)dx = exp (−x)P (x)dx,

112

де P (x) = Ln(x) - полiноми Лагера:

Ln(x) = (−1)n exp (x) dnn (xn exp (−x)). dx

Скористашись методом отримання формул Чебишева:

∞	n
Z	exp (−x)ϕ(x)dx = i=1	ωiϕ(xi),
0	X

де ωi - коренi Ln(x), ωi - ваги:

(n!)2

ωi = xi(L0n(xi))2 .

Аналогiчно будують формули iнтегрування для

+∞ +∞

f(x)dx = exp (−x2)P (x)dx,

−∞ −∞

де P (x) = En(x) - полiноми Ермiта:

En(x) = (−1)n exp (−x2) dnn (exp (−x2)). dn

Тобто

+∞			n
Z	exp (−x2)ϕ(x)dx = i=1				ωiϕ(xi),
−∞			X
де		2n+1n!√
	ωi =		π	.
		(Hn0 (xi))2

Розглянемо тепер iнтеграл на [a, b 6= ∞] вiд розривної у точцi c [a, b] функцiї. Вiдомо, що в такому випадку:

b			δ→0	c−δ	δ→0	b
Z	(	) =	δ→0	Z	δ→0	Z
f		x dx	lim	f(x)dx + lim		f(x)dx.
a				a	c+δ

Тобто, побудувавши послiдовнiсть iнтегралiв при δ → 0, весь iнтеграл можна знайти з достатньою точнiстю.

113

Деякi особливi точки можна вiддiлити методом Канторовича. Нехай g(x) - функцiя, що має такi ж особливi точки на [a, b], що i функцiя f(x), але вона iнтегровна, а рiзниця f(x) − g(x) - достатньо гладка на всьому iнтервалi:

b			b		b
Za	f(x)dx = Za		g(x)dx + Za		(f(x) − g(x))dx.
Розглянемо iнтеграли виду;
	b			x0 [a, b], 0 < α < 1.
	Za (x −( x)0)α dx,			x0 [a, b], 0 < α < 1.
		ϕ x

Функцiя ϕ(x) неперервна на iнтервалi [a, b]. Якщо ϕ(x) має похiднi аж до порядку m + 1, то

m ϕ(k)(x0)

ϕ(x) =

(x − x0)k + ψ(x),

m ϕ(k)(x0)

ψ(m+1)(ξ)

(x − x0)m+1, ξ [a, b].

ψ(x) = ϕ(x) −

(x − x0)k =

(m + 1)!

Перепишемо iнтеграл:

m ϕ(k)(x

ϕ x

)

(x − x0)k−αdx + Z

ψ(x)

( )

dx =

x0)α

k=0

−

x0)α

−

ϕ(k)(x0)

· (b − x0)k+1−α − (a − x0)k+1−α + I1,

k!(k + 1 α)

−

I1 = Za

ψ x dx

( )

(x − x0)α

Але функцiя ψ(x), як видно з її означення, має похiднi до (m + 1) порядку, тому - I1 - власний, i має братися за допомогою квадратурних формул.

114

Задачi. У кожнiй задачi цього роздiлу потрiбно знайти чотири iнтеграли. Першi три - будь-якою з квадратурниiх формул, останнiй - за формулою Гауса. Отриманi значення потрiбно уточнити використовуючи формулу Рiчардсона. Точнiсть результату, якщо вона потрiбна, повинна вводитись користувачем.

1.4

√

x2 + 5

02R.0

tg (x + 2)dx,

2x + √x2 + 0.5dx,

12R.4

(1 + 0.5x2)

0R.1.3

1 + √

0.8x2 + 1.4

dx,

−R0.5

√

dx.

x2 + 1

0.8

sin (2x + 0.5)

02R.6

2 + cos (x2 + 1)dx,

12R.9

√

(1 + 0.7x2)

x2 + 0.6

03R.4

1.5 + √

2x2 + 0.3

dx,

2R.2

√

dx.

x + 1

1.2

√

0.5x + 2

02R.4

0.8 + √2x2 + 1dx,

12R.7

(1 + 0.6x2)

(x + 1) sin xdx,

12R.4

√x2 + 1

0.9 + √

x2 + 1.5

dx,

0R.2

dx.

x + 2

0.9

cos (0.8x + 1.2)

4a.

02R.2

1.5 + sin (x2 + 0.6)dx,

1R.4

√

3x2 + 1.0

2.5

(1 + 1.5x2)

4b.

0R.1.6

x + 1

7 0.5 + √x2 + 0.8dx,

−R0.4

√

dx.

x2 + 1

1.8

√

0.8x2 + 1

01R.0

tg (x2)

x + √1.5x2 + 2dx,

03R.2

(1 + 0.6x2)

+ 1

dx,

13R.2

x + 2

1.5 + √

0.4x2 + 2.5

dx,

2R.0

√

dx.

x2 + 1

1.0

sin (x + 1.4)

01R.8

0.8 + cos (2x2 + 0.5)dx,

02R.9

√

(1 + 0.4x2)

x2 + 0.4

12R.0

x − 0.5 dx.

1.2 + √

1.2x2 + 1.0

dx,

1R.2

√

x2 − 1

2.2

√

1.5x + 0.6

11R.4

cos x dx,

1.6x + √0.8x2 + 2dx,

02R.7

(1 + 0.2x2)

x + 1

12R.6

0.7 + √

0.5x2 + 1.2

dx,

1R.0

√

dx.

x3 + 3

115

1.0

cos (0.6x2 + 0.4)

02R.2

dx,

1.4 + sin2 (x + 0.7)

12R.3

√

(1 + 1.2x2)

x2 + 2.5

0R.1.4

1.2 + √

0.6x2 + 1.3

dx,

−R0.8

√

dx.

x2 + 4

2.0

√

x2 + 1.6

1R.2

2x +2√

dx,

0.5x2 + 3

R√

x cos x2dx,1.2

0.4

(1 + 0.4x2)

2.7

11R.6

x2 + 0.5

0.8 + √0.7x2 + 1.3dx,

0R.5

√

dx.

x2 + 1

1.3

sin (0.5x + 0.4)

10.

01R.6

1.2 + cos (x2 + 0.4)dx,

02R.6

√

(1 + 0.9x2)

x2 + 0.8

03R.8

x + 1

0.7 + √

1.2x2 + 0.5

dx,

2R.2

√

dx.

x2 + 2

2.5

√

x2 + 0.6

11.

11R.2

sin (2x)dx,

1.4 + √0.6x2 + 1.3dx,

02R.7

(1 + 0.6x2)

01R.6

0.5x + 2

1.4 + √

0.6x2 + 1.5

dx,

0R.8

√

dx.

x2 + 1

0.8			cos (x2 + 0.6)
02R.0
	0.7		dx
12.			+ sin (0.8x + 1.0)dx,
.4			(1 + 0.7x2)
12R.4	√
.2		x2 + 1.2			,
03R.4	x + 0.5
.9	0.8		+ √	0.4x2 + 1.3		dx,
2R.6	√				dx.
		x2 + 1.5

2.6

√

0.4x + 1.7

11R.6

tg (x1 + 1)dx,

13.

1.5x + √x2 + 1.3dx,

02R.9

(1 + 0.4x2)

12R.0

0.7 + √

1.1x2 + 1.2

dx,

0R.8

√

dx.

x2 + 2

1.5

sin (0.3x + 1.2)

02R.0

14.

1.3 + cos2 (0.5x + 1.0)dx,

12R.7

(1 + 1.2x2)

√2x2 + 0.7,

11R.5

x + 2

0.8 + √

x2 + 1.3

dx,

0R.7

√

dx.

x2 + 1

1.6

√

0.3x2 + 2.3

01R.2

cos x dx,

15.

1.8 + √2x + 1.6dx,

02R.6

(1 + 1.5x2)

x + 2

03R.4

0.7 + √

2.2x2 + 0.5

dx,

2R.2

√

dx.

x2 + 1

116

1.8

cos (x2 + 0.6)

16.

04R.0

1.2 + sin (0.7x + 0.2)dx,

32R.7

(1 + 0.3x2)

√

0.5x2 + 1.0

0R.1.8

+ 2

1.2 + √

0.6x2 + 1.2

dx,

−R0.4

√

dx.

x2 + 1

2.0

√

0.6x + 1.7

17.

11R.2

2.1x + √0.7x2 + 1.0dx,

02R.4

(1 + 0.9x2)

(2x + 0.5) sin xdx,

01R.1

√x2

+ 1

1.3 + √

0.5x2 + 1.0

dx,

0R.2

dx.

2x + 2.5

1.2

sin (1.5x + 0.3)

01R.7

18.

2.3 + cos (0.4x2 + 1.0)dx,

02R.9

√

(1 + 0.7x2)

2x2

+ 0.3

12R.8

0.4 +

√

x2 + 1.5

dx,

2R.2

√

−

dx.

x2 + 1

2.4

√

0.4x2 + 1.5

19.

00R.8

tg (x2

+ 0.5)dx,

2.5 +

√2x + 0.8dx,

02R.6

(1 + 0.3x2)

1 + 2x2

03R.2

√

dx,

0.8 +

0.6x2 + 1.3

2R.4

√

dx.

x + 1

1.2

cos (x2 + 0.8)

20.

02R.0

1.5 + sin (0.6x + 0.5)dx,

13R.5

√

(1 + 0.9x2)

0.5x2 + 1.5

12R.5

√x2 + 2

1.5 +

√

0.4x2 + 0.7

dx,

0R.2

dx.

x + 2

2.8

√

21.

1.2x + 0.7

1.4x + √

dx,

1.3x2 + 0.5

10R.98

sin x

dx,

02R.4

(1 + 0.4x2)

.18

x + 1

01R.6

x + 3

1.3 +

√

0.8x2 + 0.4

dx,

0R.4

√

dx.

x2 + 1

1.3

sin (0.7x + 0.4)

03R.6

22.

2.2 + cos (0.3x2 + 0.7)dx,

23R.0

√

(1−+ 0.6x2)

3.0

02R.0

1.4 + √

2x2 + 0.5

dx,

0R.6

√

dx.

x2 + 2

2.4

√

.1x2 + 0.9

23.

0R.6

1.6 +1√

dx,

0.8x2 + 1.4

R√

x + 1 cos (x2)dx,1.8

0.2		(1 + 0.6x2)
2.7
11R.8

		x2
.3	1.9 + √0.x2 + 1.5dx,
0R.6	√		dx.
		x + 1.7

117

1.4

cos (0.8x + 1.0)

dx,

2.5

1 4 +dx

24.

0.4

R 2.5

sin (0.3x + 0.5)

√

0(1 + 0.5x2)

1.0

.2x2 + 1.0

1.3

0.7

+ √

2x2 + 0.4

dx,

R0.8

√

dx.

+ 2.4

√

2.1

0.6x + 1.5

3.4.0 x2 lg xdx,

25.

0.7

2x + √x2 + 0.3dx,

R13.3

(1 + 0.8x2)

dx,

2.0

1x3+ 0.5 dx.

1.0

. +

√0.4x2 + 2.1

R0.2

√

x2 + 1

+ 0.3)

1.0

sin (0.8x

dx,

1.4

0 7 +dx

26. 0.2

cos (1.2x + 0.3)

2.3

√

12(1 + 0.8x2)

0.6

+ 0.5

2.6

1.4

+ √

0.4x2 + 1.0

dx,

R1.4

√

dx.

+ 2.5

√

2.4

1.5x + 2.3

2.2

lg (x2

+ 2)dx,

27.

0.8

3 + √0.3x + 1.0dx,

R 2.6

(1 + 0.5x2)

1.4

x + 1

R −1.3

0.4

1.2 + √

0.6x2 + 1.5

dx,

R−2.5

√

dx.

x2 + 1.8

1.1

cos (0.3x + 0.5)

2.1

1 8

28.

0.3

+ sin (x2 + 0.8)dx,

2.7

√

(1−+ 0.3x2)

1.3

0.4

2.8

0 9 x2

+ 0 5

1.2

√

. x2

dx,

R1.6

√

dx.

x + 1.2

2.6

√

2x + 1.7

29.

11R.2

cos (x2)dx,

2.4 +

√1.2x2 + 0.6dx,

03R.5

(1 + 1.2x2)

x + 1

11R.8

x2 + 1.4

2.3 +

√

0.4x2 + 3.2

dx,

0R.4

√

dx.

x2 + 0.2

1.1

sin (0.6x2 + 0.3)

30.

02R.6

dx,

2.4 + cos (x + 0.5)

12R.3

√

(1 + 0.6x2)

1.5x2 + 0.7

01R.7

x + 2.2

2.5 +

√

0.3x2 + 1.6

dx,

0R.4

√

dx.

x2 + 1

1.9

√

0.7x2 + 2.3

31.

01R.6

3.2 + √0.8x + 1.4dx,

03R.2

(1 − 0.6x2)

dx,

(x2

+ 1) sin (x −

0.5)dx,

02R.8

− 2

dx.

1.4 + √2x2 + 0.5

0R.4

√

x2 + 1

1.2

cos (0.4x + 0.6)

32.

00R.5

dx,

0.8 + sin2 (x + 0.5)

22R.2

(1−

0.6x2)

√x2

4.0,

03R.4

−

dx,

.9 1.5 + √0.4x2 + 2.5

0R.8

√

dx.

x2 + 4.2

118

13. Звичайнi диференцiйнi рiвняння

У цьому роздiлi розглядаються методи розв’язання задачi Кошi, тобто знаходження функцiї y(x) з диференцiйного рiвняння, як правило - першого порядку, при заданих граничних умовах:

y0(x) = f(x, y(x)) . y(x0) = y0

Рiвняння вищих порядкiв розв’язуються шляхом приведення до еквiвалентної системи рiвнянь першого порядку.

Однокроковi методи грунтуються на спiввiдношеннi

	xn+1
y(xn+1) = y(xn) +	Z	f(x, y(x))dx,

а iнтеграл знаходимо за допомогою якоїсь з квадратурних формул. Наприклад, якщо взяти формулу прямокутникiв:

xn+1
Z	f(x, y(x))dx = (xn+1 − xn) · f(xn, yn),
xn
то позначавши xn+1 − xn = h, маємо:
	y(xn+1) = y(xn) + hf(xn, yn) + O(h2).	(13.1)

Це спiввiдношення називається методом Ейлера.

Спробуємо тепер скористатися iншою формулою, наприклад, формулою трапецiй:

xn+1
Z	f(x, y(x))dx =		xn+1 − xn		(f(xn+1, y(xn+1)) + f(xn, yn)) + O(h3),
			2
xn
або
y(xn+1) = y(xn) +		h		(f(xn, y(xn)) + f(xn+1, y(xn+1))) + O(h3).		(13.2)

	2

119

При використаннi цiєї формули стає очевидною труднiсть: шукане значення y(xn+1) представлене у формулi як злiва, так i справа, в другому випадку - як аргумент функцiї, що може бути суттєво нелiнiйною. Цю труднiсть можна зняти єдиним способом: пiдставивши справа iншу апроксимацiю для y(xn+1), наприклад з формули Ейлера:

y(xn+1) = y(xn) + hf(xn, yn) + O(h2) = y (xn+1) + O(h2),

i тодi з (13.2) маємо:

y(xn+1) = y(xn) + h2 f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1 + O(h2)) + O(h3) =

=y(xn) + h2 (f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1) + O(h2)) + O(h3) =

=y(xn) + h2 (f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1)) + O(h3).

Тобто, нова формула має порядок точностi h3, незважаючи на те, що в нiй використана формула порядку h2. Результуючий метод iнтегрування (порядку h3) набуває вигляду:

y(xn+1) = y(xn) + h2 (f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1)) + O(h3).

Саме квадратурна формула визначає точнiсть отриманих розв’язкiв. Суть формул полягає в тому, що на кожному кроцi до вже знайденого значення функцiї в точцi xn додають лiнiйну комбiнацiю правих частин, отриманих у деякiй множинi точок всерединi iнтервалу [xn, xn+1]. У однокрокових методах використовується лише iнформацiя, що отримана на останньому кроцi. При переходi до наступного iнтервалу вся ця iнформацiя втрачається, а всi зусилля, потраченi на її добування, пропадають.

Методи Рунге-Кутти. Квадратурну формулу можна узагальнити, наприклад так, як це зробили Рунге та Кутта:

X y(xn+1) = y(xn) + piKi(h),

i=1

де

K1(h) K2(h) K3(h)

. . .

Kq(h)

=hf(xn, yn)

=hf(xn + hα2, yn + β21K1)

=hf(xn + hα3, yn + β31K1 + β32K2)

=hf(xn + hαq, yn + βq1K1 + βq2K2 + · · · + βq,q−1Kq−1).

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1612 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.20152 Мб28Chernysh_Soc_04.pdf
#
19.03.20151 Мб177Chestnov.posobie (1).doc
#
19.03.201573 Кб8Chimkent_-Balhash.doc
#
01.04.2025105 Кб0chisla_e._harchovi_dobavki.doc
#
19.03.20151 Мб6ChM_teory2.PDF
#
19.03.2015913 Кб11Choliy.NumericaMethods.2011Dec01.pdf
#
06.12.20183 Мб9Chornoochenko_S_I_2005_-_Tsivilny_protses.doc
#
19.03.20151 Мб9Chto_takoe_KVN.pdf
#
01.05.202585 Кб1Chumachenko_kursovaya_1.docx
#
01.05.202587 Кб1Chumachenko_kursovaya_1.docx
#
01.07.202594 Кб0Chumachenko_kursovaya_gotov.docx