Choliy.NumericaMethods.2011Dec01

16. Рiвняння в частинних похiдних

У цьому роздiлi розглядаються методи розв’язування рiвнянь виду:

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

де x, y - незалежнi змiннi, u = u(x, y) - шукана функцiя, ux, uy, uxx, uxy, uyy - її вiдповiднi похiднi. Узагальнення цього спiввiдношення на бiльшу кiлькiсть вимiрiв не складає труднощiв. Теорiя рiвнянь в часткових похiдних є справою такої областi фiзики як математична фiзика. Тут буде розглянуто лише кiлька методiв, деколи без строгих доведень, якi залишенi для курсу матфiзики.

Рiвняння називається цiлком лiнiйним, якщо його можна записати так:

а коефiцiєнти можуть бути функцiями лише незалежних змiнних. Для класифiкацiї рiвнянь вводять дискримiнант:

D = ac − b2,

i в залежностi вiд його знаку:

•D > 0 - рiвняння елiптичного типу;

•D = 0 - рiвняння параболiчного типу;

•D < 0 - рiвняння гiперболiчного типу:

•D - змiнне - рiвняння змiшаного типу.

Найвiдомiший приклад елiптичного рiвняння - рiвняння Лапласа

uxx + c(x, y)uyy = f(x, y),

параболiчного - рiвняння теплопровiдностi

ut − a(x, t)uxx = f(x, t),

141

гiперболiчного - хвильове рiвняння

uyy − a2uxx = f(x, y).

В загальному випадку такi рiвняння мають нескiнчену кiлькiсть розв’язкiв. У фiзичних задачах рiвняння супроводжуються початковими та граничними умовами. Особливої рiзницi мiж цими поняттями немає, однак, початковi умови використовуються з тiєю незалежною координатою, яка у якомусь смислi грає роль часу.

Задача Кошi. Знайти розв’язок u = u(x, y) рiвняння (16.1), що задовольняє початковим умовам на границi γ:

u|γ = ϕ(x, y), ux|γ = ϕ1(x, y).

Задача Кошi зазвичай ставиться для рiвнянь гiперболiчного та параболiчного

Для рiвнянь елiптичного типу зазвичай розглядають задачу Дiрiхле, коли на всiй границi областi задано значення невiдомої функцiї, задачу Неймана, коли на границi задано похiдну вiд шуканої функцiї, чи змiшану задачу.

Рiвняння елiптичного типу розглянемо на прикладi рiвняння Лапласа:

∂2u ∂2u

∂x2 + ∂y2 = 0,

розв’язок якого потрiбно знайти на прямокутнiй областi (виключно для спрощення викладу). Замiняємо похiднi їх апроксимацiями:

∂2u = (u(x + h, y) − 2u(x, y) + u(x − h, y))/h2 + O(h2) ∂x2

∂2u = (u(x, y + l) − 2u(x, y) + u(x, y − l))/l2 + O(l2), ∂y2

де h - крок розбиття областi по x, а l - крок розбиття по y.

Тодi

u(x + h, y) − 2u(x, y) + u(x − h, y) + O(h2)+ h2

142

+u(x, y + l) − 2u(x, y) + u(x, y − l) l2

Пiсля перевпорядкування та якщо опустити похибки:

2u(x, y) = ((u(x + h, y) + u(x − h, y))/h2+

+(u(x, y + l) + u(x, y − l))/l2)/(1/h2 + 1/l2),

а якщо для спрощення покласти h = l то:

4u(x, y) = u(x + h, y) + u(x − h, y) + u(x, y + h) + u(x, y − h).

Розв’язок в точцi (x, y) представляється як середнє арифметичне значення чотирьох сусiднiх точок, розташованих по вертикалi та горизонталi. Ця формула має порядок точностi h2. Аналогiчнi мiркування дають ще одну апроксимацiю того ж порядку з використанням сусiдiв по дiагоналi:

4u(x, y) = u(x + h, y + h) + u(x + h, y − h) + u(x − h, y + h) + u(x − h, y − h).

Таким чином, розв’язання рiвняння елiптичного типу зводиться до таких крокiв:

•запису у кожнiй точцi сiтки апроксимацiй за одною з попередньо введених схем;

•у кожнiй точцi границi значення u0j, ui0, unj, uim вважаємо заданими;

•розв’язуємо утворену систему з метою знаходження усiх uij.

Упереважнiй бiльшостi випадкiв ця система рiвнянь дуже велика, тому для її розв’язання можна рекомендувати один з iтерацiйних методiв.

Рiвняння параболiчного типу розглянемо на прикладi рiвняння тепло-

Друга координата має смисл часу. При t = 0 задано розподiл температури u(x, 0) = f(x),

143

а в просторових координатах - граничнi умови

u(0, t) = ϕ(t), u(l, t) = ψ(t).

Поступаємо аналогiчно

xi = ih, tj = jk.

У точках областi рiвняння можна апроксимувати так:

(ui,j+1 − uij)/k = (ui+1,j − 2uij + ui−1,j)/h2,

або

ui,j+1 = σui−1,j + (1 − 2σ)uij + σui+1,j,

де σ = k/h2 - стала величина. Оскiльки другий iндекс має смисл часу, то за цiєю схемою можна обчислити значення функцiї у наступний момент (j + 1) знаючи три його значення у попереднiй момент j. У крайнiх точках використовуємо граничнi умови.

Вибiр σ для цiєї схеми досить важливий, тому розглянемо його детальнiше. Введемо

ˆ −

Рiзниця R(u) = L(u) L(u) є похибкою апроксимацiї, однак, якщо обмежитись лише вузлами сiтки, то L(u) = 0 i

ˆ

розкладемо L(u) в ряд Тейлора в точцi (xi, tj) до шостого порядку по x та третього по t:

144

то перший доданок теж стане рiвним нулю, а вираз для похибки тодi можна переписати в виглядi:

R(u) = − h4 · ∂6uij + O(h6).

540 ∂x6

Очевидно, що похибка матиме порядок h4 при σ = 1/6 i порядок h2 у iншому випадку.

Описана вище схема називається явною. Зазвичай вона використовується крок за кроком по часу, але в зв’язку з тим, що k = h2/6 (k - крок по часу, h - крок по координатi), така схема ”дрiботить“ по часу i потребує досить багато обчислень на крок. Тому розглянемо дещо iншу апроксимацiю:

(ui,j+1 − uij)/k = (ui−1,j+1 − 2ui,j+1

145

для внутрiшнiх точок по x (i = 1, 2, . . . , n − 1, j = 0, 1, . . . ). Цю формулу можна переписати так:

Для розв’язання утвореної таким чином системи (16.2) та (16.3) пiдходить метод прогонки. Нехай:

Пiдставимо граничнi умови у перше з цих рiвнянь:

u1,j+1 = ϕ(tj+1) + su1j + u2,j+1 ,

2 + s

i порiвняємо з другим:

a1,j+1 = 1/(2 + s)

b1,j+1 = aϕ(tj+1) + suij.

146

Знаходимо a та b прямим ходом. Пiсля цього (16.2) та (16.3) дають:

Цi вирази дають спосiб переходу вiд j до (j + 1), що i дасть крок за кроком розв’язок рiвняння. Така схема обчислень називається неявною.

Рiвняння гiперболiчного типу покажемо на прикладi рiвняння коливань струни:

(ui,j+1 − 2uij + ui,j−1)/k2 = a2(ui+1,j − 2uij + ui−1,j)/h2.

Якщо покласти k = h/a, то ця схема спрощується:

ui,j+1 = ui+1,j + ui−1,j − ui,j−1,

тобто, для знаходження u в шарi j +1 потрiбно знати значення u у двох попереднiх шарах. Крайовi умови дають u ,0, а u ,−1 можна знайти, використавши апроксимацiю похiдної:

F (x) = ut(x, 0) = u(x, −1) − u(x, 0)

−k

або

ui,−1 − ui.0 = Fi.

−k

147

Задачi. Кожна задача цього роздiлу мiстить три окремi вправи.

Пiд буквою a) задаються граничнi умови для задачi Дiрiхле (рiвняння Ла-

пласа):

∂2u ∂2u

∂x2 + ∂y2 = 0,

у квадратi ABCD з координатами A(0, 0), B(0, 1), C(1, 1), D(1, 0).

Пiд буквою b) початковi умови для змiшаної задачi (рiвняння теплопровiд-

ностi):

∂u = ∂2u, ∂t ∂x2

де u(x, 0) = f(x), u(0, t) = ϕ(t), u(a, t) = ψ(t), a = 0.6, x [0, a], t [0, 0.1], σ = 1/6.

Пiд буквою c) початковi умови для змiшаної задачi про коливання струни:

∂2u ∂2u ∂t2 = ∂x2 ,

де u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = Φ(t), u(0, t) = ϕ(t), u(1, t) = ψ(t), x [0, 1], t [0, 1].

148

149

150