Choliy.NumericaMethods.2011Dec01

Це, однак, можна змiнити якщо у внутрiшнiх точках використовувати вказанi апроксимацiї, i скласти n − 1 рiвняння:

а на кiнцях - крайовi умови, тобто ще два рiвняння:

якi не потребують апроксимацiй для другої похiдної. Разом це дає n + 1 рiвнянь - рiвно стiльки, скiльки невiдомих y(xk).

При так вибраних апроксимацiях, система лiнiйних рiвнянь виходить трьохдiагональною. При iнших формулах, що апроксимують похiднi, вигляд матрицi може бути iншим, однак, це все рiвно буде система лiнiйних рiвнянь. Важливо, щоб пiдiбранi апроксимацiї були одного i того ж порядку, як в цьому випадку.

Несiтковi методи. Цi методи можна вважати напiвчисельними, вони дозволяють знаходити аналiтичнi розв’язки.

Нехай на iнтервалi [a, b] є система базисних функцiй ui(x), таких, що

1) ортогональнi:

2)не iснує ще якоїсь функцiї, що була б ортогональною всiм ui(x);

3)граничнi умови виконуються лише для функцiї u0, а для всiх iнших граничнi умови нульовi: α0u0(a)+α1u00(a) = A, α0uk(a)+α1u0k(a) = 0, k 6= 0.

Розв’язок шукаємо в виглядi:

n

X

y(x) = u0(x) + ciui(x),

i=1

де ci - невiдомi коефiцiєнти. Нехай тепер

L(y) = y00(x) + p(x)y0(x) + q(x)y(x),

131

- лiнiйний оператор, побудований на основi рiвняння задачi. Рiзниця мiж точним розв’язком та апроксимацiєю, є

Спосiб знаходження ci, що оптимiзують цю нев’язку, визначається методом. Метод колокацiї. Вимагається, щоб нев’язка (14.1) була строго рiвна

нулю на послiдовностi точок xk, k = 0, . . . , N, тобто

R(xk,~c) = 0, k = 0, . . . , N,

що є системою лiнiйних рiвнянь.

Метод найменших квадратiв. Мiнiмiзуємо повну нев’язку на [a, b]:

b

Z

I = R2(x,~c)dx = min,

a

для чого вiзьмемо похiднi по параметрах i прирiвняємо їх до нуля:

Метод Галеркiна. У цьому методi вимагається, щоб нев’язка R(x,~c) була ортогональна усiм базисним функцiям ui, тодi

Для знаходження iнтегралiв, звичайно, слiд використовувати квадратурнi формули.

132

Задачi. Кожна з задач цього роздiлу мiстить одну граничну задачу. Лiва границя iнтервалу задана у першiй граничнiй умовi, а права - у другiй. Метод, точнiсть та крок слiд вибрати самостiйно.

133

24. y00 + 2xy0 − 1.5 = x; 1.4y(1.1) + 0.5y0(1.1) = 2; y0(1.4) = 2.5.

25.y00 + 0.6xy0 − 2y = 1;

y(1.5) = 0.6; 2y(1.8) − 0.8y0(1.8) = 3.

26.y00 − 0.5x2y0 + 2y = x2; y(1.6) + 0.7y0(1.6) = 2;

y(1.9) = 0.8.

27. y00 + 2y0 − 1.5xy = 2/x;

y(0.8) = 1; y(1.1) + 2y0(1.1) = 1.

28. y00 − xy0/2 + 0.5y = 2x; 0.4y(0.2) − y0(0.2) = 1.5; y0(0.5) = 0.4.

29.y00 + y0/(2x) − y = 2/x;

y(0.6) = 1.3; 0.5y(0.9) − 1.2y0(0.9) = 1.

30. y00 − xy0 + 2xy = 0.8; y(1.2) − 0.5y0(1.2) = 1; y0(1.5) = 2.

31. y00 + 3y0 − y/x2 = x + 1; y0(1.2) = 1; 2y(1.5) − y0(1.5) = 0.5.

134

15. Iнтегральнi рiвняння

У цьому роздiлi розглядаються методи розв’язання iнтегральних рiвнянь. Це рiвняння виду:

Z

g(x)y(x) = f(x) + λ K(x, t)y(t)dt, x Ω, (15.1)

Ω

у яке шукана функцiя y(x) входить як невiдоме пiд знак iнтегралу. Тут також K(x, t) - ядро рiвняння, g(x), f(x) - вiдомi функцiї, визначенi на всiй областi Ω. Iнтегральнi рiвняння класифiкують так: при Ω = [a, b] маємо рiвняння Фредгольма, а при Ω = [a, x] - рiвняння Вольтерра. Рiвняння буде першого роду, якщо g(x) = 0, i другого роду, якщо це не так (g(x) 6= 0). Якщо у рiвняннi f(x) = 0 то воно однорiдне. Бiльшiсть методiв розв’язання пiдходять для рiвнянь Фредгольма другого роду:

a

Метод скiнчених сум. Нехай по обидвох координатах x, t задано рiвномiрнi сiтки, так, що xi = ti, i = 0, . . . , n. Замiнимо iнтеграл квадратурною формулою:

Похибка, що зазвичай має мiсце, тут опущена. Тодi i [0, n]:

n

X

y(xi) = f(xi) + λ ωjK(xi, tj)y(tj),

j=0

або в дещо iншому виглядi:

n

X

f(xi) = y(xi) − λ ωjK(xi, tj)y(tj).

j=0

135

Останнє рiвняння можна переписати як систему лiнiйних рiвнянь:

де для зменшення громiздкостi введено позначення:

Розв’язавши цю систему лiнiйних рiвнянь, отримаємо невiдомi y(xi), що i будуть розв’язком iнтегрального рiвняння.

Як i всi iншi методи, про якi йтиметься далi, цей метод можна також використати для розв’язання рiвнянь Вольтерра другого роду:

a

Щоб це можна було здiйснити, запишемо це рiвняння для послiдовних значень xi, пiдставивши їх верхньою межею iнтегрування, квадратурнi формули теж задамо для [a, xi]. В такому випадку система лiнiйних рiвнянь набуде трикутного виду:

i

X

f(xi) = y(xi) − λ ωjK(xi, tj)y(tj).

j=0

Власне, в цьому i полягає рiзниця мiж методами розв’язування цих двох видiв iнтегральних рiвнянь.

Метод вироджених ядер. У бiльшостi випадкiв ядро можна розкласти:

m

X

K(x, t) = αk(x)βk(t).

k=1

Таке ядро називається виродженим. Якщо m = 1, то ядро називається сепарабельним. Замiнимо ядро в рiвняннi згiдно з цим виразом:

136

Якщо покласти

Це останнє спiввiдношення пiдставимо в вираз для Ck:

RR

Обидва iнтеграли в останньому рядочку беруться, оскiльки мiстять лише вiдомi функцiї. Якщо також ввести позначення:

Тобто, ми знову отримали систему лiнiйних рiвнянь.

Iншi методи. Iнтегральнi рiвняння можна також розв’язувати як крайовi задачi для диференцiйних рiвнянь. Введемо, по аналогiї з попереднiм роздiлом, нев’язку мiж точним розв’язком i знайденим наближенням:

Як i в попередньому роздiлi, метод визначається тим як мiнiмiзується чи обнуляється нев’язка.

137

У методi найменших квадратiв вводиться загальна iнтегральна нев’язка:

b

Z

I = R2(y(x))dx,

a

i в той же час функцiя y(x) подається як лiнiйна комбiнацiя базових лiнiйно незалежних функцiй ϕi(x):

Отже,

Як i зазвичай у методi найменших квадратiв, мiнiмiзацiя нев’язки здiйснюється знаходженням похiдних по cj та прирiвнюванням їх до нуля:

∂I = 0, j = 1, . . . , n. ∂cj

Отже:

b

Z

×(ϕj(x) − λ K(x, t)ϕj(t)dt)dx = 0.

a

Цей досить громiздкий вираз можна привести до системи лiнiйних рiвнянь:

138

У методi колокацiй вимагається, щоб нев’язка R(y(x)) приймала нульовi значення на сiтцi абсцис. За такi точки зручно прийняти сформовану квадратурними формулами сiтку xi. Якщо i далi вважати, що (15.4) виконується, маємо:

або знову в виглядi системи лiнiйних рiвнянь:

n

X

Aj(xi)cj = f(xi).

j=1

У методi Галеркiна нев’язка R(y(x)) має бути ортогональною до всiх базових функцiй:

bb

Z Z

δi = λ K(x, t)ϕi(x)f(t)dtdx.

aa

139

Задачi. У задачах цього роздiлу потрiбно розв’язати рiвняння Фредгольма другого роду на iнтервалi вiд 0 до π з кроком π/20 при заданих функцiї f(x), параметрi λ та ядрi K(x, t). У задачах з парними номерами параметр λ має значення одиниця, у всiх iнших: 5.

140