Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Choliy.NumericaMethods.2011Dec01

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

913 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Задачi. У кожнiй задачi цiєї глави приведено по однiй матрицi, та одному стовбчику правих частин, для яких потрiбно: розв’язати систему лiнiйних рiвнянь, скориставшись LU-розбиттям, якщо номер задачi - парне число або QR-розбиттям, якщо номер задачi - число непарне. Отриманий розв’язок потрiбно уточнити до 10−6. Окрiм цього потрiбно знайти матрицю, обернену до заданої та її визначник.

1. 5.5		−9.3 −14.2 13.2 ~x = 6.8
	4.4	−2.5					19.2			−10.8								4.3
	7.1	−11.5						5.3 −6.7										−1.8
	14.2		23.4			−		8.8				5.3						7.2

2. 6.6		13.1			−6.3						4.3 ~x =						−5.5
	5.7	−7.8			−5.6					−8.3								2.7
	14.7	−2.8					5.6			−12.1								8.6
	8.5	12.7			−	23.7					5.7						14.7
		−6.7								−4.5
3. 8.8					−5.5								~x =				5.6
	15.7		6.6				5.7			11.5						−2.4
	6.3	−5.7			−23.4						6.6						7.7
	14.3		8.7		−	15.7				−	5.8						23.4

4. 23.4		−14.2 −5.4									2.1 ~x =							6.6
	14.4	−5.3 14.3								−12.7							−14.4
	6.3	−13.2 −6.5									14.3							9.4
	5.6		8.8		−		6.7			−	23.8							7.3

5. 1.1		−4.3 1.5 −1.7 ~x =												19.
	1.7	−1.8			1.9				−57.4						10.
	1.2	1.4			1.6					1.8					20.
	7.1	1.3			4.1					5.2					10.
		−		−
6. 5.6		−12.0				15.0				−6.4			~x =				4.5
	8.2	−3.2				14.2				14.8						−8.4
	5.7		3.6		−12.4					−2.3							3.3
	6.8	13.2			−		6.3			−	8.7						14.3
		−6.6
7. 8.3						5.8			−12.2 ~x = −4.7
	3.8	14.2				6.3				15.5							2.8
	6.4	−8.5			−4.3						8.8						7.7
	17.1	−	8.3		14.4					−	7.2						13.5

8. 2.4		−−4.4		3.5	− 5.5	~x = 2.5
	4.3	12.1 23.2			14.1		15.5
	5.4		8.3	−7.4	−12.7		8.6
	6.3	−	7.6	1.3	3.7		12.1
		−

9. 3.1			1.7 −2.1		5.4	~x = 2.1
	1.7		10.0	−1.3	2.1		3.1
	3.3 −7.7			4.4	−5.1		1.9
	10.0	−	20.1	20.4	1.7		1.8
		−

10.	1.1	−1.5	−2.2	−3.8	~x =	4.2
	6.1	6.2	6.3	6.4		6.5
	5.1	−5.0	4.9	−4.8		4.7
	1.8	1.9	2.0	2.1		2.2
				−

11.	1.3	−2.2	−1.4	−1.5	~x =	10.0
	2.2	3.1	4.2	5.1		6.0
	6.2	−7.4	8.5	−9.6		1.1
	1.2	1.3	1.4	4.5		1.6

12.	45.2	21.1	−1.1		−1.2	~x =	11.1
	35.1	1.7		37.5	−2.8		7.5
	−21.1	31.7		1.2	−1.5		2.1
	31.7	18.1	−	31.7	2.2		0.5
			−

13.	−10.0				1.3			−20.0				−1.4			~x =		1.5
		7.5			1.8				−2.1			−7.7					1.1
		2.8 −1.7								3.9				4.8			1.2
		10.0 31.4							−	2.1		−	10.0					1.1
14.			−6.2													−
		11.5				−8.3					−9.2		~x =			21.5
		7.3			8.1 12.7							6.7				8.8
		8.2	−5.4					4.3			−2.5					6.2
		2.4		11.5		−		3.3 14.2								6.2
15.			−8.3												−
		5.8						14.3			−6.2				~x =	17.1
		6.4			7.2		−8.3 42.0									2.2
		8.6			7.7	−18.3						8.8				−5.4
		13.2	−		5.2		−		6.5 12.2							6.5
16.																−6.6
		10.7	−7.7 12.5									6.6			~x =
		7.3		12.4		−3.8					−14.3					5.8
		15.6			6.6 14.4						−8.7					12.4
		7.5		12.2		−		8.3				3.7				9.2

17.	1.1	−1.7	−7.2	−3.4	~x =	1.7
	8.1	1.2	9.1	1.7		10.0
	1.7	−1.8	10.0	2.3		2.1
	1.3	1.7	9.9	3.5		27.1
			−

18.		20.0			0.5	−30.1 −1.1						~x =		2.1
		1.7			9.9	−20.0				−1.7				1.7
		10.0	−20.0				30.2			0.5				1.8
		3.3	−		0.7		3.3 20.0							1.7
19.						−1.8
		1.3 −11.7								1.4		~x =	1.3
		1.1	11.3				1.7			1.8			10.0
		1.1 −10.5				−1.7		−1.5					1.1
		1.5	−	0.5			1.8	−		1.1			10.0
20.						−11.7
		27.5	−7.5						−23.5			~x =		12.8
		35.8		2.1			34.5		−11.8					0.5
		11.7		1.8		−6.5				7.1				1.7
		6.3 10.0					7.1			3.4				20.8

21.	−3.3			1.1		30.1		−20.1			~x =			1.1
		1.1 11.2				11.1		−13.1						1.3
		7.5 1.3					1.1			10.0	20.0
		1.7 7.5				−	1.8			2.1				1.1

22.	−17.5				11.1 1.3				−7.5		~x =		1.3
		30.1			−1.4 10.0				−1.5				10.0
		1.7			−21.1 7.1 −17.1								10.0
		2.1			2.1 3.5				3.3				1.7

23.		22.0	−31.7 12.4					−8.7			~x =	4.6
		4.8			12.5	−6.3		−9.7				3.5
		15.0			21.1 −4.5 14.4							15.0
		8.6	−		14.4		6.2		2.8			−	1.2
24.
		6.3		−4.3			12.7	−5.8		~x = −4.4
		14.2			3.2	−4.2			8.5			13.2
		8.4	−22.3 −5.2						4.7				6.4
		2.7			13.7		6.4	−	12.7				8.5
25.			−4.2			−5.6
		8.3							7.7		~x =	12.4
		13.2			8.3	−4.4			6.2			6.8
		5.8	−3.7				12.4	−6.2				8.7
		3.5			6.6	−	13.8	−	9.3			−	10.8

26.	1.8	21.1			1.3	−2.2	~x =	2.2
	3.3	−2.2		−10.0		1.7		1.1
	−10.0		1.1	20.0		−4.5		10.0
	70.0	−	1.7	−	2.2	3.3		2.1
		−		−

27.	10.0	−10.0	−1.3			1.3	~x =	1.1
	1.7	−1.3	−1.1		−1.2			2.2
	3.5	3.3		1.2		1.3		1.2
	1.3	1.1	−	1.3	−	1.1		10.0
			−		−

28.	10.0	−1.7				−1.1 −1.5					~x =	1.7
	1.4			2.1			3.3		1.1			10.0
	2.2 34.4					−1.1 −1.2						20.0
	1.1			1.3			1.2		1.4			1.3

29.	10.0		−5.1				−1.2		−5.5		~x =		1.2
	1.2				1.8			2.2	4.1				1.3
	2.2	−30.1						3.1	5.8				10.0
	10.0				2.4		−	30.5	2.2				34.1
30.	10.0	−5.5							−
						−1.3			3.4		~x =	1.3
	1.3			1.7			3.3		1.7			1.1
	1.1			1.8		−2.2 −1.1						2.1
	1.3	−		1.2			2.1		2.2			2.2
31.	23.4
		−14.2 −5.4							2.1		~x =		1.3
	5.7		−7.8				−5.6		−8.3				1.1
	5.7				3.6 −12.4 −2.3								2.1
	6.3		−		7.6			1.3	3.7				2.2
32.							12.7		−5.8				5.0
	6.3 −4.3									~x =
	30.1			−1.4 10.0					−1.5				4.0
	−10.0				1.1 20.0 −4.5								4.0
	14.2 23.4							8.8	5.3				3.0
							−

5. Iтерацiйнi методи для лiнiйних

рiвнянь

У цьому роздiлi розглядаються iтерацiйнi методи розв’язання лiнiйних систем. Зазвичай їх рекомендують у випадку, коли система має великий порядок.

Метод простої iтерацiї. Перепишемо систему A~x = b у такому виглядi:

− −~ − ~

~x = ~x µD(A~x b) = (E µDA)~x + µDb = B~x + ~g.

Ми скористалися деякою сталою µ та невиродженою матрицею D. Теорема. Для збiжностi процесу простої iтерацiї

~x(n+1) = B~x(n) + ~g,

(5.1)

достатньо, щоб kBk < 1.

Розглянемо кiлька послiдовних етапiв iтерацiї:

~x(1) = B~x(0) + ~g ~x(2) = B~x(1) + ~g ~x(3) = B~x(2) + ~g

. . .

~x(n+1) = B~x(n) + ~g.

Якщо при цьому пiдставити перше рiвняння у друге, потiм результат - у третє i т.д., матимемо:

~x(2)	= B(B~x(0) + ~g) + ~g = B2~x(0) + B~g + ~g
~x(3)	= B(B2~x(0) + B~g + ~g) + ~g = B3~x(0) + B2~g + B~g + ~g
. . .

~x(k) = Bk~x(0) + (Bk−1 + Bk−2 + Bk−2 + · · · + B2 + B + E)~g.

Якщо спрямувати k → ∞, то сума в дужках буде сумою членiв нескiнченої геометричної прогресiї, тобто

lim ~x(k) = lim Bk~x(0) + (E − B)−1~g.

k→∞ k→∞

Оскiльки за умовою теореми kBk < 1, перший доданок прямує до нуля, а границя злiва - до кореня, тому

~x = (E − B)−1~g.

Перетворивши отримане спiввiдношення, маємо

~g = (E − B)~x = ~x − B~x, ~x = B~x + ~g,

тобто, процес сходиться за iтерацiйною схемою (5.1). Кiнець теореми. Це означає, що якщо вибрати сталу µ та матрицю D так, щоб для матрицi B = E − µDA виконувалась вимога kBk < 1, то iтерацiйний процес (5.1) буде сходитись до розв’язку.

Метод Зейделя. Запишемо систему рiвнянь (5.1) у явному виглядi:

x(1k+1)

x(2k+1) x(3k+1)

x(nk+1)

=b11x(1k)

=b21x(1k)

=b31x(1k)

=bn1x(1k)

+b12x(2k)

+b22x(2k)

+b32x(2k)

+bn2x(2k)

+· · · + b1nx(nk)

+· · · + b2nx(nk)

+· · · + b3nx(nk)

. . .

+ · · · + bnnx(nk)

+g1

+g2

+g3 .

+gn

У методi простої iтерацiї обчислення ведуться рiвняння за рiвнянням зверху вниз. Змiнимо трохи цю методику i будемо пiдставляти значення x(ik+1) у праву частину зразу, як воно буде отримане:

x(1k+1) x(2k+1)

x(3k+1)

x(nk+1)

=b11x(1k) + b12x(2k) + · · · + b1nx(nk) + g1

=b21x(1k+1) + b22x(2k) + · · · + b2nx(nk) + g2

= b31x(1k+1) + b32x(2k+1) + · · · + b3nx(nk) + g3 .

. . .

=bn1x(1k+1) + bn2x(2k+1) + · · · + bnnx(nk) + gn

Такий метод називається методом Зейделя. У матричному виглядi його можна записати так:

			~x(k+1) = B1~x(k+1) + B2~x(k) + ~g,
де	=	b21	0	. . . 0 ,	B2	=	0			b22	. . . b2n .
B1	=	b21	0	. . . 0 ,	B2	=	0			b22	. . . b2n .
		0 0		. . . 0				b11		b12	. . . b1n
			bn2	. . .				0	0		. . .
		bn1	bn2	. . . 0				0	0		. . . bnn

Цей запис повнiстю еквiвалентний рiвнянню для простої iтерацiї:

~x(k+1)(E − B1) = B2~x(k) + ~g, ~x(k+1) = (E − B1)−1B2~x(k) + (E − B1)−1~g,

з iншою матрицею (E − B1)−1B2 та вектором (E − B1)−1~g.

Метод релаксацiї. Розпочнемо з системи A~x = b, записаної покомпонентно:

a21x1	+ a22x2	+	· · · + a2nxn = b2 .
a11x1	+ a12x2	+	· · ·	+ a1nxn = b1
			· · ·	. . .

an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

Перенесем вiльнi члени влiво i подiлимо всi рiвняння на −aii:

	x1 + A12x2 + + A1nxn + B1 = 0
	−A21x1	−	x2 + · · · + A2nxn + B2 = 0		,
		−	· · ·	. . .


	An1x1 + An2x2 + · · · − xn + Bn = 0


де Aij = −aij/aii. Нехай
				n
			j	X6
	Ri = (Bi − xi) +			Aijxj
				=1,j=i

називається нев’язкою i-го рiвняння. Вона буде рiвною нулю лише в тому випадку, коли ~x спiвпадає з коренем. Додавання ненульового значення до xi зменшує нев’язку Ri, а додавання його до xk,k6=i - збiльшує її. Нев’язки iнших рiвнянь теж змiнюються i навiть можуть зростати. Якщо знайти рiвняння з найбiльшим модулем Ri, i додати до xi значення Ri, нев’язку саме цього рiвняння можна зменшити до нуля. Iтеруючи цей процес отримуємо розв’язок системи. Доведення збiжностi для процесу релаксацiї нетривiальне i виходить за рамки нашого курсу.

Задачi. У кожнiй задачi цiєї глави приведено по однiй системi лiнiйних рiвнянь, якi потрiбно розв’язати методом iтерацiї (парнi номери), чи методом релаксацiї (непарнi номери).

1. −0.45		−1.23 0.06				0.00 ~x =	−0.88
	0.77	−0.04			0.21	−0.18		−1.24
	0.26		0.34	−1.11		0.62		0.62
	0.05	−	0.26		0.34	1.12		−	1.17
				−0.17		−
2. −0.34		−1.08				−0.18 ~x =	−1.42
	0.79		0.12		0.34	−0.16		0.64
	0.16		0.34	−0.85		−0.31		0.42
	0.12	−	0.26	−	0.08	0.75		−	0.83
						−
3. −0.16		−0.88		−0.14		0.27 ~x =	0.65
	0.68	−0.18			0.02	0.21		−1.83
	0.37		0.27	−1.02		−0.24		−2.23
	0.12		0.21	−	0.18	0.75		1.13
						−
4. −0.11		−1.26 0.36				0.00 ~x =	−1.42
	0.58	−0.32			0.03	0.00		−0.44
	0.12		0.08	−1.14		−0.24		0.83
	0.15	−	0.35	−	0.18	1.00		1.42
						−
5. −0.11		−0.77		−0.15		0.32 ~x =	−0.84
	0.82	−0.34		−0.12		0.15		1.33
	0.05	−0.12		−0.86		−0.18		1.16
	0.12		0.08		0.06	1.00		−	0.57
		−1.31		−0.15		−
6. −0.24						−0.00 ~x =	0.18
	0.87		0.23		0.44	0.05		−2.13
	0.06		0.15	−1.23		0.00		−1.44
	0.72	−	0.08	−	0.05	1.00		−	2.42
						−
7. −0.21		−1.00 0.33				0.22 ~x =	−0.62
	−0.83		0.31	−0.18		0.22		1.71
	0.32	−0.18		−0.95		−0.19		0.89
	0.12		0.28	−	0.14	1.00		−	0.94
		−1.00				−
8. −0.21				−0.45		0.18 ~x =	0.33
	−0.87		0.27	−0.22		−0.18		−1.21
	0.12		0.13	−1.33		0.18		0.48
	0.33	−	0.05		0.06	1.28		0.17
						−

9. −0.22 −0.92 0.11 0.33 ~x =									0.64
		−0.81	−0.07			0.38	−0.21		0.81
		0.51 −0.07 −0.91 −0.11							−1.71
		0.33	−	0.41		0.00	1.00		1.21
10.							−
	−0.38		−1.00 −0.12				0.22	~x =	1.50
		1.00			0.22	−0.11	0.31		−2.70
		0.11			0.23 −1.00		−0.51		−1.22
		0.17	−		0.21	0.31	1.00		−	0.17
11.							−
	−0.18		−0.48			0.00	0.21	~x =	−1.17
		0.93	−0.08			0.11	−0.18		0.51
		0.13			0.31 −1.00		−0.21		1.02
		0.08	−		0.33	0.00	0.72		−	0.28
12.							−
	−0.04		−1.12			0.08	0.11	~x =	−1.40
		0.95	−0.06			−0.12	0.14		2.17
		0.34			0.08 −1.06		0.14		2.10
		0.11			0.12	0.00	1.03		0.80
13.			−0.69				−		−0.81
	−0.00					0.27	−0.08	~x =
		0.92	−0.03			0.00	−0.04		1.20
		0.33			0.00 −1.07		0.21		0.92
		0.11			0.00	0.03	0.42		−	0.17
14.			−0.66 −0.18				−
	−0.14						0.24	~x =	0.89
		0.88	−0.23			0.25	−0.16		−1.24
		0.33			0.03 −0.84		−0.32		−1.15
		0.12	−		0.05	0.00	0.85		0.57
15.							−
	−0.12		−0.68			0.00	−0.18	~x =	0.72
		0.77	−0.14			0.06	−0.12		−1.21
		0.08	−0.12 −0.77				0.32		0.58
		0.25			0.22	0.14	1.00		−	1.56
16.			−1.14				−
	−0.12					0.08	0.09	~x =	0.83
		0.86			0.23	0.18	0.17		1.42
		0.16			0.24 −1.00		−0.35		−1.21
		0.23	−		0.08	0.05	0.75		−	0.65
17.							−
	−0.05		−0.68			0.00	−0.12	~x =	0.57
		0.76			0.21	0.06	0.34		−1.42
		0.35	−0.27 −1.00				−0.05		−0.68
		0.12	−		0.43	0.04	1.21		2.14
							−

18.	−0.13		−1.12		−0.09		−0.06		~x =	−0.48
		0.83		0.27		0.13	−0.11				1.42
		0.11		0.05	−1.02			0.12			2.34
		0.13		0.18		0.24	−	0.57			−	0.72
19.			−1.13		−0.12
	−0.32							0.11	~x =	−1.24
		0.85		0.05	−0.08			0.14			0.48
		0.17		0.06	−1.08			0.12			−1.15
		0.21	−	0.16		0.36	−	1.00			0.88
20.					−0.12
	−0.52		−0.88					0.17	~x =		1.17
		1.00		0.28		0.17		0.06			−0.21
		0.17	−0.18		−0.79			0.00			0.81
		0.11		0.22		0.03	−	0.95			−	0.72
21.			−1.38		−0.05
	−0.07							0.41	~x =	−1.80
		1.00		0.52		0.08		0.13			0.22
		0.04		0.42	−0.89		−0.07				1.30
		0.17		0.18	−	0.13	−	0.81			−	0.33
22.			−0.72
	−0.03				−0.33		−0.07		~x =	−1.10
		0.99		0.02		0.62		0.08			1.30
		0.09		0.13	−0.58			0.28			1.70
		0.19	−	0.23		0.08	−	0.63			1.50
23.					−0.43
	−0.00		−0.82				−0.08		~x =	−0.33
		1.00		0.17		0.33		0.18			1.20
		0.22		0.18	−0.79			0.07			−0.48
		0.08		0.07		0.21	−	0.96			1.20
24.			−0.45		−0.08
	−0.22							0.07	~x =		1.80
		0.97	−0.05			0.22	−0.33				−0.43
		0.33		0.13	−1.08		−0.05				0.80
		0.08		0.17		0.29	−	0.67			−	1.70
25.			−1.00		−0.23
	−0.45							0.07	~x =		0.33
		0.87		0.22	−0.33			0.07			−0.11
		0.11		0.00	−1.08			0.18			−0.85
		0.08	−	0.09		0.33	−	0.79			1.70
26.
	−0.16		−1.23			0.11	−0.21		~x =	−1.43
		0.68	−0.16		−0.08			0.15			−2.42
		0.05	−0.08		−1.00			0.34			0.16
		0.12		0.14	−	0.18	−	0.94			−	1.62

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.20152 Мб28Chernysh_Soc_04.pdf
#
19.03.20151 Мб177Chestnov.posobie (1).doc
#
19.03.201573 Кб8Chimkent_-Balhash.doc
#
01.04.2025105 Кб0chisla_e._harchovi_dobavki.doc
#
19.03.20151 Мб6ChM_teory2.PDF
#
19.03.2015913 Кб11Choliy.NumericaMethods.2011Dec01.pdf
#
06.12.20183 Мб9Chornoochenko_S_I_2005_-_Tsivilny_protses.doc
#
19.03.20151 Мб9Chto_takoe_KVN.pdf
#
01.05.202585 Кб1Chumachenko_kursovaya_1.docx
#
01.05.202587 Кб1Chumachenko_kursovaya_1.docx
#
01.07.202594 Кб0Chumachenko_kursovaya_gotov.docx