Choliy.NumericaMethods.2011Dec01

мають коефiцiєнт при старшому степенi рiвний одиницi. Екстремальнi значення цього полiнома знайдемо, прирiвнявши до нуля похiдну:

Теорема. Якщо Pn(x) - полiном степеня n зi старшим коефiцiєнтом 1, то

71

Другий доданок менший, нiж перший за модулем, тому знак другого доданку

¯ −

Але ж m = 0, . . . , n, тобто у (n + 1) точках знаки полiнома Tn(xm) Pn(xm) рiзнi, тому мiж цими точками у цього полiнома є n нулiв, що протирiчить тому факту, що полiном має (n − 1)-у степiнь. Значить, полiнома Pn(x) не

де xk - коренi полiнома Tm(x): arccos xk = (k ± 1/2)π. Цi формули є прямим m

наслiдком умови ортогональностi.

Полiномiальнi апроксимацiї мають вигляд:

m

X

R(x) = akxk.

k=0

Для отримання коефiцiєнтiв ak вiзьмемо значення функцiї в m + 1 точках:

m

X

R(xi) = akxki ,

k=0

що є системою лiнiйних рiвнянь вiдносно коефiцiєнтiв.

Апроксимацiї Паде. Так називають апроксимацiїї вiдношенням двох полi-

номiальних функцiй:

m

P akxk

k=0

R(x) = n ,

P

1 + bkxk

k=1

72

значення функцiї та значення достатньої кiлькостi похiдних у початковiй точцi мають спiвпадати:

X

f(x) = ckxk, q > n + m,

k=0

можна знайти ak, bk якщо обидвi формули прирiвняти i розглянути коефiцiєнти при однакових степенях:

а в компонентах

(a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn) =

= (c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn + . . . ) · (1 + b1x + b2x2 + · · · + bmxm).

Для спрощення викладу покладемо n = m i прирiвнявши коефiцiєнти при

є сталою величиною, на одиницю меншою номера рядочка. Продовжимо для a(>n), якi всi рiвнi нулю i не забудемо, що b(>n) теж усi рiвнi нулю:

. . .

an+n = 0 = c0bn+n + c1bn+n−1 + c2bn+n−2 + · · · + cnbn + · · · + cn+nb0,

73

а пiсля пiдстановки всiх нулiв та одиниць:

З спiввiдношення (8.2), що є системою лiнiйних рiвнянь, знаходимо bk, пiдставляємо їх у (8.1), отримуємо iншу систему лiнiйних рiвнянь, розв’язавши яку матимемо ak.

Метод найменших квадратiв. Викладенi ранiше методи апроксимацiї полягали в тому, що апроксимуючi функцiї проходили через усi точки таблицi точно. Строго кажучи, це все ще iнтерполяцiя. Однак, у випадку, коли таблиця представляє неполiномiальнi данi, кiлькiсть даних в таблицi перевищує степiнь полiнома, модель неполiномiальна, таке представлення не може бути точним, але можна спробувати знайти представлення оптимальне, найкраще у якомусь смислi. Тут ми вважатимемо, що середньоквадратичне вiдхилення реальних даних вiд моделi є достатнiм критерiєм оптимальностi.

Спочатку розглянемо задачу про пiдгонку прямої лiнiї до табличних даних (xi, yi), де i = 1, . . . , N. Пряму задає модельна функцiя y = ax + b. Загальне середньоквадратичне вiдхилення моделi вiд спостережень:

мiнiмiзуємо, пiдiбравши вiдповiдним чином параметри a та b. Оскiльки експериментальнi данi завжди мають похибку, величина σi, що є похибкою i-го вимiрювання, використовується як вага окремого спостереження. Отже, беремо похiднi по a та b i прирiвнюємо їх до нуля:

Ввiвши для спрощення формул позначення S з iндексами для вiдповiдної суми:

74

Знаходження розв’язку не складає проблеми:

де = SSxx − Sx2 - визначник матрицi. Якщо записати все у матричному виглядi:

Для знаходження похибок знайдених параметрiв виходимо з того, що будьякий з параметрiв, наприклад b, є функцiєю yi: b = b(yi). При цьому усi xi - вважаються сталими величинами. Тому

Знайдемо тепер похибку:

(Тут порожнiми дужками позначено обернену матрицю початкової системи лiнiйних рiвнянь). Аналогiчно знайдемо похибку першого параметра:

Цей результат має загальний характер: похибка параметра визначається через дiагональнi елементи оберненої матрицi системи.

Загальний метод найменших квадратiв. Нехай тепер функцiя, що задає модель є лiнiйною комбiнацiєю параметрiв aj та деяких базових функцiй

Bj(x):

75

Знаходимо похiднi, k = 1, . . . , M i прирiвнюємо їх до нуля:

Утворена система рiвнянь лiнiйна по параметрах:

Така система рiвнянь називається нормальною. Знайдемо похибку i-го параметра:

76

Остання сума є не що iнше, як означення елементiв матрицi α, тому

У другiй вiд кiнця сумi стоїть добуток елементiв двох взаємно обернених матриць, що рiвен одиничнiй матрицi, а в останнiй сумi скалярний добуток l-х стовбчикiв матрицi γ та одиничної. Отже, квадрати похибок параметрiв займають дiагональ матрицi, оберненої до матрицi нормальної системи.

Важливою для опису результату є кореляцiйна матриця R:

Rrc = √ γrc .

γrrγcc

Дiагональнi елементи цiєї матрицi рiвнi одиницям, а недiагональнi, якi не перевищують одиницi за модулем, показують величину зв’язкiв мiж параметрами, точнiше - глибину їх взаємної залежностi. Чим бiльший елемент Rij поза дiагоналлю, тим бiльша залежнiсть i-го та j-го параметрiв мiж собою i тим гiрший, в цiлому, розв’язок.

Є також спосiб розв’язання задачi найменших квадратiв, що не потребує складання системи нормальних рiвнянь. При цьому i = 1, . . . , N записуємо:

M

X

y(xi) = ajBj(xi),

j=1

що утворюють систему лiнiйних рiвнянь. Така система не буде квадратною i матиме N рядочкiв та M стовбчикiв. Розв’язання її можна здiйснити одним iз методiв ортогоналiзацiї, наприклад розкладаючи матрицю за сингулярними числами (SVD = Singular Value Decompisition) [13].

77

Задачi. У задачах цього роздiлу обов’язковим є знаходження оцiнок похибок для усiх параметрiв, що отримуються у процесi розрахункiв. Точнiсть побудови апроксимацiї потрiбно звiрити зi стандартними функцiями С. Якщо в задачi вимагається знайти апроксимацiю функцiї, то на кiнцях вказаного iнтервалу повинна досягатися точнiсть ε, що задається користувачем.

1.На [π/4, 3π/4] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї sin x.

2.На [π/4, 3π/4] побудувати апроксимацiю Паде функцiї sin x.

степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

4. На дослiдi отримано залежнiсть потужностi, що видiляється на дросселi вiд напруги, прикладеної до нього:

напруга, В 43.9 50.2 51.0 51.6 53.5 54.6 55.3 58.0 потужнiсть, Вт 0.06 0.24 0.55 0.98 1.52 2.20 3.04 3.97

Знайти параметри моделi залежностi потужностi вiд напруги.

5.На [−π/4, π/4] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї cos x.

6.На [−π/4, π/4] побудувати апроксимацiю Паде функцiї cos x.

7. На [−π/3, π/3] скласти таблицю значень функцiї cos x з кроком π/30 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми другого та четвертого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

8. На дослiдi отримали залежнiсть величини y вiд x:

Знайти параметри експоненцiйної моделi цих даних.

9. На [−π/4, π/4] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї tg x. 10. На [−π/4, π/4] побудувати апроксимацiю Паде функцiї tg x.

11. На [−π/3, π/3] скласти таблицю значень функцiї tg x з кроком π/30 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми третього та п’ятого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

12. На дослiдi отримали залежнiсть величини y вiд x:

Знайти параметри лiнiйної моделi для цих даних.

13. На [π/4, 3π/4] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї ctg x.

78

14. На [π/4, 3π/4] побудувати апроксимацiю Паде функцiї ctg x.

15. На [π/3, 2π/3] скласти таблицю значень функцiї ctg x з кроком π/30 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми третього та п’ятого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

16. На дослiдi для деякого сорту скла отримано таку залежнiсть показника заломлення вiд довжини хвилi:

довжина, мкм 0.22 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 показник 1.50 1.31 1.23 1.20 1.17 1.16 1.15.

Приймаючи, що залежнiсть показника заломлення вiд довжини хвилi вiдома:

s

Ne2

n = 1 + , ε0m(ω02 − ω2)

де ω - частота випромiнювання, усi iншi символи позначають рiзнi сталi, методом найменших квадратiв розширити залежнiсть до iнтервалу 0,1 - 1,0 мкм i знайти частоту резонансу ω0. Найпростiше це зробити, якщо переписати заданий вираз так:

i тодi 1/λ2 i 1/(n2 − 1) виявляються зв’язаними лiнiйною залежнiстю.

17.На [−π/4, π/4] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї arctg x.

18.На [−π/4, π/4] побудувати апроксимацiю Паде функцiї arctg x.

19.На [π/3, 2π/3] скласти таблицю значень функцiї 1/ sin x з кроком π/30 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми другого та четвертого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

20.У лабораторнiй роботi перевiряють закон Стефана–Больцмана E = σT n, аналiзуючи пiрометром температуру нитки лампи розжарення, а за допомогою амперметра та вольтметра визначають її потужнiсть. Площа, що випромiнює, дорiвнює 1 см2. Отриманi значення наведено в таблицi. Методом найменших квадратiв знайти параметри σ, n:

21.На [π/4, 3π/4] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї arcctg x.

22.На [π/4, 3π/4] побудувати апроксимацiю Паде функцiї arcctg x.

23.На [−π/3, π/3] скласти таблицю значень функцiї 1/ cos x з кроком π/30 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми другого та четвертого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

79

24. Джерело струму дослiджують, пiд’єднуючи до нього рiзнi за величиною опори i вимiрюючи силу струму та напругу на клемах. Методом найменших квадратiв опрацювати данi, наведенi в таблицi, i знайти електрорушiйну силу, струм короткого замикання та внутрiшнiй опiр джерела:

√

27. На [−0.5, 0.5] скласти таблицю значень функцiї 1/ a2 + x2 з кроком 1/20 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми другого та четвертого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

28. На дослiдi отримали експериментальну залежнiсть в’язкостi глiцерину вiд температури:

Знайти найкращу аналiтичну залежнiсть для в’язкостi глiцерину вiд температури.

29.На [−0.5, 0.5] побудувати чебишевську апроксимацiю функцiї 1/(a2 + x2) для наперед заданого значення a.

30.На [−0.5, 0.5] побудувати апроксимацiю Паде функцiї 1/(a2 + x2) для наперед заданого значення a.

31. На [−0.5, 0.5] скласти таблицю значень функцiї 1/(a2 + x2) з кроком 1/20 i до отриманих таким чином даних пiдiгнати полiноми другого та четвертого степеня. Привести оцiнки найбiльшого вiдхилення.

32. На дослiдi отримали експериментальну залежнiсть тиску насиченої водяної пари вiд температури:

Знайти найкращу аналiтичну залежнiсть для тиску насиченої водяної пари вiд температури.

80