§ 6. Движение тела под действием силы тяжести

1. Движение тела по вертикали (рис. 7; 8).

Если сообщить телу начальную скорость , направленную вверх, то это не изменит ни направления, ни численного значения ускорения тела.

Ускорение падающего тела не изменится, если мы толкнем тело вниз, сообщив ему начальную ско­рость . Только нарастание ско­рости тела начнется не от нуля, а от . В обоих случаях траектория тела — вертикальная прямая.

Итак, кинематические уравнения для координаты и скорости в скалярной форме на ось Оу будут имеют вид:

(6.1)

Таким образом, при решении задач, относящих­ся к такому движению, в качестве тела отсчета удобно принимать Землю с началом отсчета на ее по­верхности, а координат­ную ось направлять по вертикали вверх. Высоту тела над какой-то поверхностью принято обо­значать буквой h (рис. 7; 8). Тогда координата тела или - это вы­сота h тела над точкой начала отсчета.

2. Движение тела, брошенного горизонтально

Задача 1. Тело брошено гори­зонтально со скоростью с высоты .Найдите дальность полета , время дви­жения , конечную скорость и урав­нение траектории (рис. 9).

В условии даны только кине­матические величины. Естест­венно, что имеет смысл восполь­зоваться алгоритмом решения задач по кинематике. Вспом­ните его, пожалуйста. Кроме того, если тело брошено вблизи Земли (при отсутствии сопротивления воздуха), оно испытывает только действие силы тяжести, сообщающей ему ускорение свободного падения . А те­перь будем действовать по алгоритму кинематики.

1. Выберем систему отсчета, как указанона рисунке 9, поместив начало системы координат, жестко связанной с Землей, в точку О.

2. Определим вид движения тела вдоль каждой оси и напишем уравнения движения для координат и для скорости. Двигаясь по кривой, тело перемещается и вдоль оси ОХ, и вдоль оси OY. Это сложное движение мы представим как совокупность простых движений вдоль осей координат. Так как проекция силы тяжести на ось ОХ равна нулю, т. е. , то вдоль осиОХ силы не действуют и проекция ускорения , а потому движение пооси ОХ будет равномерным. Т. к. , то и , т. е. по осиOY тело будет двигаться равнопеременно. Тогда уравнения движения вдоль осей будут иметь вид:

3. Определим начальные условия и проекции ускорения:

; ; ; ;

тогда имеем

4. Определим дополнительные условия (скорость и координату тела) в интересующий нас момент времени для точкиA

, .

Подставляя эти значения в уравнения движения, получим:

или

5. Решим эту систему уравнений

Искомая конечная скорость

Анализ решения показывает, что дальность полета S тем больше, чем больше начальная скорость , а время полета тела не зависит от нее, т. е. при любых значениях начальной скорости время полета с данной высоты будет одно и то же.

Уравнение траектории должно включать в себя координаты и не содержать времени. Поэтому, чтобы получить его, надо решить систему уравнений

,

исключая время. Тогда получим

Это - уравнение параболы с вершиной в точке бросания. Итак, тело, брошенное гори­зонтально вблизи Земли, будет двигаться по параболе.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Важно уметь рассчитывать дальность полета тел, которые бросают с заданной начальной скоростью и заданным углом к горизонту, например спортивного диска, ядра, баллистической ракеты.

Задача 2. Тело бросили с поверхности земли под углом к горизонту со скоростьюНайдите максимальную высоту подъёма, дальность полётаи время полёта(рис. 10)

Как и в задаче № 1, будем действовать по алгоритму, считая, что движение по оси равномерное, а по осиравнопеременное, так как ,

1. Выбрав систему отсчета, так показано на рисунке 10, запишем уравнения движения вдоль осей:

2. Определим начальные условия и проекции ускорения:

; ; ; ;

тогда имеем:

3. Определим дополнительные условия (скорость и координату тела) в интересующий нас момент времени , т. е. для точкиA:

, ; .

Подставляя эти значения в уравнения движения, получим:

4. Решим эту систему уравнений

;

;

От чего зависит дальность полёта? Конечно, от начальной скорости, с ростом которой растет и дальность полёта , а также от угла, под которым тело начинает движение.

• Задачи для самоконтроля № 58 – 107 .