§ 10. Примеры решения задач «Закон всемирного тяготения»

Задача 1. Средняя плотность Венеры , радиус планеты. Найдите ускорение свободного падения на поверхности Венеры.

Краткая запись условия задачи: ,.

Найти:

Решение. При рассмотрении закона всемирного тяготении был получен следующий результат:

=

Очевидно, что это выражение справедливо для любой другой планета, например, для Венеры, т.е.

=

Учитывая, что и, получим:

Следовательно,

=

или

=

Задача 2. Каков период обращения искусственного спутника на высоте от поверхности? Массу и радиус Земли считать известными.

Краткая запись условия задачи:, , .

Найти:

Решение. При рассмотрении первой космической скорости был получен следующий результат:

С другой стороны, из кинематики вращательного движения

но

Тогда

Приравнивая полученное равенство и выражение для первой космической скорости, получим:

Следовательно,

• Задачи для самоконтроля № 209 – 219

§ 11. Центр тяжести. Центр масс тела

Одной из сил, действующих на тело только вблизи Земли, всегда является сила тяжести. Поэтому при рассмотрении вопросов, связанных с равно­весием (и не только с равновесием) абсолютно твердого тела, важно знать точку приложения этой силы. До сих пор, говоря о си­ле тяжести, мы прикладывали ее к точке, которая казалась нам наиболее подходящей для этого. Так, рассматривая равновесие балки, мы приложили силу тяжести к ее середине. Оказывается, в этом случае (полагая, что балка однородная) сила тяжести действительно приложена к этой точке: если, разбив балку на одинаковые частицы, сложить действующие на них элементарные силы тяжести, то равнодей­ствующая этих сил - сила тяжести балки - будет приложена в точкеC (рис. 20а). Но далеко не всегда мы можем «угадать» положение точки приложения силы тяжести. Как быть, скажем, в тех случаях, когда тело неоднородное или имеет неправильную форму?

Обратимся к хорошо известному нам случаю равновесия тела, подвешенного на нити (рис.20б). Действующие на него силы тяжести и натяжения нити равны по мо­дулю и лежат на одной прямой, ина­че бы тело не находилось в равновесии. Поэтому линия дейст­вия силы тяжести совпадает с нитью. Этим обстоятельством мы и вос­пользуемся для определения поло­жения точки приложения силы тяжести опытным путем.

Вырежем из картона фигуру произвольной формы и подвесим ее к нити (рис. 21а). Проведем каран­дашом на ней прямую, совпадаю­щую с вертикалью, вдоль которой расположена нить. Тем самым мы найдем линию действия силы тяже­сти. Подвесим тело за какие-нибудь другие точки (рис. 21, б и в) и точно также определим линии действия силы тяжести. Мы увидим, что все три линии пересекутся в одной и той же точке С.

З

рис.21

начит, как бы мы ни поворачи­вали тело, линия действия силы тя­жести всегда будет проходить через точку С. Естественно поэтому и счи­тать ее точкой приложения силы тяжести. Эта точка назы­вается центром тяжести.

Итак, центром тяжести тела называется точка, через которую проходит линия действия силы тяжести при любом положении тела.

Если бы мы проделали такие же опыты с телами правильной геометрической формы, то обнаружили бы, что у треугольника центр тяжести совпадает с точкой пересечения его медиан, у круга - с его центром, у параллелограмма - с точкой пересечения его диагоналей. Центр тяжести симметричных тел всегда находится в центре симметрии (если, конечно, эти тела однородные). У таких объемных тел, как шар или куб, центр тяжести совпадает с их центром. Но центр тяжести может находиться и вне тел, - например, у кольца, у пустой банки, у циркуля, ножки которого раздвинуты, и т.д.

В случае, когда размеры тела малы по сравнению с расстоянием до центра Земного шара, центр тяжести совпадает с центром масс тела.

А как же найти центр масс неоднородного тела? Ответим на этот вопрос, решив следующую задачу.

Задача. Одна часть цилиндрического стержня длиной 5 см и массой 3 кг состоит из алюминия, другая часть – из стали длиной 2 см и массой 4 кг. Определите положение центра масс стержня.

Краткая запись условия задачи: кг,м,кг,м.

Найти:Решение: Выберем систему отсчёту так, как показано на рисунке 22. Обозначим за расстояние от начала системы координат до центра масс тела. За ось вращения примем прямую, проходящую через точкуC. Выразим моменты каждой силы.

;

Так цилиндрический стержень находится в равновесии, то

Тогда

Причем,

;

Следовательно,

(м)

Таким образом, в случае разнородных тел центр масс системы находится по формуле:

=,

где x_i,m_i– координаты, массы элементов тел.