Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.

Пусть дана система нелинейных уравнений.

(3.5)

Идея метода Ньютона заключается в том, что в окрестности имеющегося приближения к решению системы (3.5) задача заменяется некоторой вспомогательной линейной задачей.

В основе метода Ньютона для системы уравнений (3.5) лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие производные второго и более высоких порядков, отбрасывают.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (3.5) (например, полученные в результате предыдущей итерации) равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям, благодаря которым решение системы (3.5) запишется в виде:

(3.6)

Проведем разложение левых частей уравнений (3.5) с учетом (3.6) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку в соответствии с (3.5) левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то приравниваем к нулю и правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений .

(3.7)

Определителем системы (3.7) является якобиан

(Производные вычислены в точке ). Для существования и единственности решения системы (3.7) он должен быть отличен от нуля (на каждой итерации).

Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (3.5) методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Процесс прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:, где– заданная точность. При определенных условиях, наложенных на функции, и при удачном выборе начального приближения каждый шаг итерационного процесса выполним и последовательность итераций сходится к решению системы (3.5), причем этот метод имеет второй порядок сходимости.

Глава 4.

Аппроксимация функций.

Лекция 12.

«Понятие об аппроксимации функций.

Вычисление значений многочленов.

Интерполирование функции многочленом.»

Понятие об аппроксимации функций.

Определение 4.1. Аппроксимация – это приближенное выражение каких-либо объектов через другие более простые объекты.

Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие единственное y. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь в виде некоторой зависимости . В некоторых случаях даже при известной зависимостиона настолько громоздка (например, содержит сложные интегралы), что ее использование на практике затруднительно.

Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы . Это означает, что дискретному множеству значений аргументапоставлено в соответствие множество соответствующих значений функции(). Эти значения могут быть либо результатами расчетов, либо экспериментальными данными. Такую функцию называют сеточной функцией. На практике могут понадобиться значения величиныy и в других точках, отличных от узлов . Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближённого вычисления искомого параметра y при любом значении определяющего параметра из некоторой области определения.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию требуется аппроксимировать (приближенно заменить) некоторой функциейтак, чтобы отклонение (в некотором смысле)отв заданной области было наименьшим. Функциюназывают при этом аппроксимирующей.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной.