Глава 5.

Численное интегрирование.

Лекция 16.

«Определение определенного интеграла.

Формулы прямоугольников. Формула трапеций.

Формула Симпсона.

Оценка погрешности квадратурных формул.»

Определение определенного интеграла.

Пусть функция задана на отрезке. Разобьем этот отрезок точками,. На каждом отрезке выберем произвольную точку, составим произведениеи составим сумму всех таких произведений, то есть интегральную сумму. Определенным интеграломназывается предел интегральной суммы при, то есть

.

Причем этот предел не зависит от выбора точек . В частном случае, когда функцияна отрезке, определенный интеграл имеет следующий геометрический смысл. Интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры. Если, ломаная стремится занять положение кривой, следовательно определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Из курса математического анализа известно, что если существует первообразная функция для функции , то определенный интеграл есть приращение первообразной на отрезке, то есть

.

Это формула Ньютона-Лейбница. Но в некоторых случаях этой формулой воспользоваться нельзя. Например, существует целый класс «неберущихся» интегралов, то есть таких, для которых первообразные не вычисляются в элементарных функциях. Между тем, некоторые из них играют большую роль в математике, как, например, , играющий большую роль в математической статистике. Кроме того, функция может быть задана таблично, или в принципе интеграл можно посчитать по формуле Ньютона-Лейбница, но практически этой сделать очень сложно, как, например, в случае.

Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральная функция заменяется более простой функцией, интеграл от которой вычислить легко, и тогда

.

Формулы численного интегрирования называются квадратурными.

Формулы прямоугольников.

В основу использования формул прямоугольников положено понятие интегральной суммы, а именно в этих формулах интеграл буквально заменяется интегральной суммой, в которой выбор точекпроизводится вполне определенным образом.

Разобьем отрезок наn равных частей с шагом (). Если в качестве точеквзять левые концы элементарных отрезков, то получим формулу левых прямоугольников:

.

Взяв в качестве точек правые концы прямоугольников, получим формулу правых прямоугольников:

.

Если в качестве точек взять середины элементарных отрезков, получим формулу средних прямоугольников:

, где

.

Заметим, что формулы левых и правых прямоугольников используются очень редко, так как точность формулы средних прямоугольников гораздо выше. Заметим также, что в формулах прямоугольников подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, то есть константой.

Формула трапеций.

Пусть вновь требуется вычислить интеграл . Также разобьем отрезокнаn равных частей с шагом (). Подынтегральную функциюна каждом элементарном отрезке аппроксимируем линейной функцией, то есть сплайном первой степени. Таким образом, площадь криволинейной трапеции мы заменяем суммарной площадью обычных трапеций.

Мы проводили рассуждение в предположении, что функция является положительной на отрезке, однако формула остается верной и в том случае, когда функцияменяет знак на отрезке интегрирования.