Лекция 13.

«Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

Остаточный член интерполирования.»

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

Будем искать глобальный интерполяционный многочлен в форме

,

где ,, …,– значения интерполируемой функциив узлах,, …,, а, …, – некоторые многочлены степени не вышеn.

Задача интерполирования в этом случае сводится к построению многочленов с таким расчетом, чтобыпри. Очевидно, они должны обладать свойством

.

Действительно, тогда .

Так как , то все узлы за исключениемявляются корнями многочлена.

По теореме из курса алгебры о разложении многочлена по корням имеем , где– некоторый коэффициент. Найдем его из условия.

,

следовательно

.

Таким образом, .

Тогда интерполяционный многочлен будет выглядеть так:

. (4.2)

Это и есть интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.

Введем обозначение .

Найдем производную :

.

Тогда , и многочлен (4.2) можно записать более компактно:

.

Остаточный член интерполирования.

Пусть – интерполяционный многочлен, построенный для функциипо узлам,, …,. В узлах значенияиравны между собой. В точкахx, не совпадающих с узлами, вообще говоря, . Всегда можно написать равенство, где- остаточный член, то есть погрешность интерполяции, которая характеризует точность приближения функцииинтерполяционным многочленом.

Заметим, что если относительно функции ничего не известно, кроме её значенийв узлах интерполяции, то никаких полезных рассуждений относительно остаточного членапровести нельзя. В предположении, что, где– отрезок, содержащий все узлы интерполяции,, например,,, можно оценить погрешность интерполяции. Оценим остаточный член в произвольной точке, не совпадающей ни с одним из узлов. Имеет место следующая теорема об остаточном члене интерполирования.

Теорема 4.3. Если , то для всякогонайдется точкатакая, что

. (4.3)

Доказательство.

Рассмотрим функцию

, (4.4)

где k – некоторое число, ,.

Очевидно, что имеет напроизводные до порядкавключительно. Узлы,, …,являются корнями. Возьмем произвольную точку, не совпадающую ни с одним из узлов, и подберемk так, чтобы .

Полагая в (4.4) и, получим, чтоk следует взять равным

. (4.5)

При этом значении k функция обращается в нуль в (n+2) точках x, ,, …,. В анализе доказывается теорема Ролля: если функциянепрерывна наи дифференцируема наи на концах отрезка принимает равные значения, то существует хотя бы одна точкавнутри отрезка, в которой производная.

Применяя эту теорему к функции , получаем, что её производная обращается в нуль по крайней мере в (n+1) точках отрезка . Вновь применяя теорему Ролля, но уже к функции, получаем, что производная функцииобращается в нуль по крайней мере вn точках отрезка . Продолжая эти рассуждения дальше, имеем, чтообращается в нуль по крайней мере в одной точке. Обозначим ее через. Отметим, что (n+1)-я производная , то есть, так какесть многочлен степенисо старшим коэффициентом 1.

Из имеем. Полагая в этом равенствеи учитывая, что, находим.

Подставив найденное значение k в формулу (4.5), найдем

.

Откуда

или

.

Теорема доказана.

Если , то

. (4.6)

Это и есть оценка погрешности интерполяции.