Лекция 15.

«Линейная интерполяция. Квадратичная интерполяция.

Интерполяция кубическими сплайнами.

Обратная интерполяция с помощью многочлена Лагранжа.

Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.»

Линейная интерполяция.

Суть ее заключается в том, что на каждом элементарном отрезке ,, функция аппроксимируется линейной функцией. Геометрически это означает, что через точки табличной функции проводится ломанная. На каждом из элементарных отрезков линейный сплайн задается определенным уравнением. Найдем уравнение сплайна на произвольном отрезке. Здесь следует воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точкии.

Таким образом для построения линейной интерполяции следует найти промежуток , в который попадает значениеx, а затем с использованием вышеуказанной формулы посчитать значение функции.

Квадратичная интерполяция.

Шаблоном для квадратичной интерполяции являются три узла ,,. Суть ее заключается в том, что на элементарном отрезке, содержащем три узла интерполяции, функция аппроксимируется квадратичной (параболической) функцией. Найдем неизвестные,,из условия интерполяции, то есть из условия совпадения значений сплайна в узловых точках,,. со значениями табличной функции.

.

Чтобы определить значение функции при определенном x при квадратичной интерполяции, нужно провести следующие вычисления:

• нужно определить три ближайших к x узла интерполяции;

• составить и решить вышеуказанную систему;

• по полученным коэффициентам вычислить значение функции в точке x.

Заметим, что ответы могут различаться в зависимости от того, или.

Интерполяция кубическими сплайнами.

Определим сплайн так, чтобы между любыми двумя узлами интерполяции он был многочленом третьей степени:

,

где ,. Для определения всех коэффициентов,,,нужноуравнений. Часть из этих уравнений мы получим из условия прохождения сплайна через узлы интерполяции:,,. Получаемуравнений:

, ; (4.9)

, , (4.10)

где .

В качестве дополнительных условий возьмем условия непрерывности первой и второй производных во внутренних узлах, то есть условия гладкости. Так как

,

,

получаем

, (4.11)

, . (4.12)

(Для получения этих уравнений нужно приравнять производные в точке , вычисленные через левый и правый интервал от,.) Получаем еще () уравнения. Последние два уравнения можно получить, приравняв к нулю вторые производные в концевых точках:,.

, (4.13)

. (4.14)

Решив систему уравнений (4.9)-(4.14), мы получим коэффициенты ,,,. С целью экономии памяти ЭВМ эту систему можно представить в более компактном виде.

1. Прежде всего заметим, что из (4.9) можно найти все .

2. Далее выразим из (4.12) и (4.14) .

. (4.15)

Заметим, что первой из этих формул можно пользоваться и при , если положить.

3. Исключим ииз (4.10).

, . (4.16)

4. Из уравнений (4.11) исключим и, пользуясь (4.15) и (4.16).

,

.

Как видим, записанное выше уравнение связывает значения коэффициентов в трех соседних узлах. Найдем коэффициенты при неизвестных.

При :.

При :.

При :.

Свободный член: .

Произведем переиндексацию:

, ,,.

Коэффициенты:

При :.

При :.

При :.

Свободный член: .

В результате получаем следующую систему из () уравнения:

(4.17)

Эта система решается прогонкой.

Таким образом, чтобы произвести кубическую сплайн-интерполяцию, следует:

1. Определить коэффициенты ,,,,, в следующем порядке:– из уравнения (4.9),– решая (4.17) прогонкой,– с помощью (4.15),– с помощью (4.16).

2. Определить интервал , который содержит аргументx, и в качестве приближенного значения функции в этой точке взять значение сплайна

.