Обратная интерполяция с помощью многочлена Лагранжа.

Пусть задана табличная функция . Еслинепрерывна и монотонна на отрезке, где,, то по теореме об обратной функции на отрезке, где,, определена обратная функция, также монотонная и непрерывная. Пусть следует определить по таблице такое, что. Эту задачу можно решить с помощью обратного интерполирования. Если известна таблица (4.1), значит известна таблица для(строка значений равна строке аргументов). Поэтому можно построить интерполяционный многочлен

.

Тогда в качестве можно принять значение многочлена в точке, то есть.

Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.

При интерполяции требуется совпадение значений аппроксимируемой функции и аппроксимирующей функциив узлах:. Между тем значения функции могут быть найдены путем экспериментов, измерений, которые могут содержать ошибки. Поэтому совпадение значений в узлах будет означать повторение ошибок эксперимента. Задача поиска эмпирической зависимости отличается от задачи интерполирования. Графически это выглядит так, как показано на рисунке 4.2.

То есть график эмпирической зависимости не обязательно проходит через узловые точки.

Рис. 4.2.

Поставим задачу более четко. Пусть дана таблица значений функции .

x			…
y			…

Следует найти такую функцию из определенного класса функций, которая бы в узлахмало отличалась бы от значений функции. Для характеристики близостиквводится понятие отклонения функции в узле, а именно. Различные способы минимизации модулей этих величин определяют тот или иной метод приближения функции. Например, можно минимизировать величины,,. Минимизация последней величины определяет метод наименьших квадратов, который является наиболее оптимальным.

Задача поиска эмпирической зависимости решается в два этапа.

1. Подбор вида эмпирической зависимости , где, …,– параметры эмпирической зависимости, а. Например, в зависимостидва параметра –,.

2. Определение параметров эмпирической зависимости с помощью того или иного способа минимизации модулей отклонений.

Заметим, что линейная зависимость содержит два параметра. И часто функциональную зависимость с двумя параметрами можно свести к линейной. Например:

,

.

Если обозначить

, ,,

то получим линейную зависимость .

Часто вид эмпирической зависимости известен из физических соображений. Если вид заранее неизвестен, то бывает полезным экспериментальные данные нанести на координатную плоскость и по графику угадать вид зависимости путем сравнения этого графика с ранее известными.

Рис. 4.3.

Пусть вид эмпирической зависимости найден . Надо определить параметры, …,. Как было сказано ранее, они определяются путем минимизации величин,. Рассмотрим метод наименьших квадратов.

Будем минимизировать величину . Сделаем предположение, что функцияявляется линейной относительно параметров:

.

Так как функция s есть функция m+1 переменных, то стационарную точку найдем из условия одновременного равенства нулю всех частных производных:

, , …,.

Решая эту систему из m+1 уравнения с m+1 неизвестным, получаем искомые параметры. (Если все функции () линейно независимы, то можно показать, что решение системы будет единственно, и найденная точка будет являться точкой минимума.)

Применим МНК для частного случая, когда вид эмпирической зависимости такой: . (Заметим, что эта зависимость является линейной относительно параметровa, b и c и функции ,,линейно независимы.)